Transformación de Lorentz

Na Galipedia, a wikipedia en galego.

En física, a transformación de Lorentz é unha transformación de coordenadas dun referencial en repouso para outro en movemento, que é válida para todas as velocidades. Ela é unha xeneralización relativística da transformada de Galileu.

[editar] Motivación Orixinal

A necesidade de se modificar as ecuacións da transformada de Galileu foi recoñecida ao se tentar usalas nas ecuacións de Maxwell. O raciocinio a seguir, atribuído a Einstein, ilustra intuitamente a inconsistencia.

Considere que sexa posíbel a unha persoa viaxar á velocidade da luz. A luz, polas ecuacións de Maxwell, é unha oscilación dos campos eléctricos ‘‘‘E’‘‘ e magnéticos ‘‘‘B’‘‘, periódica no espazo e oscilante no tempo. No referencial desta persoa, a luz sería unha perturbación do campo electromagnético periódica no espazo e ‘‘constante no tempo’‘. Tal solución, no entanto, non existe como solución das ecuacións de Maxwell que gobernan a propagación da Luz.

Polo tanto resta unha alternativa:

Modificar as ecuacións Maxwell e manter a transformada de Galileu
Ou modificar a transformada de Galileu

Non basta dicir que, xa que as ecuacións de Maxwell confirmanse en laborátorio, debemos modificar as transformadas de Galileu. Estas transformadas tamén son importantes pois son a base de toda a Mecánica Clásica, que polo tanto debería ser revista.

Este impase foi resolvido en 1905 por Albert Einstein. A súa interpretación das Transformadas de Lorentz permitiu manter as ecuacións de Maxwell inalteradas, mais exixiu unha revisión completa dos conceptos de tempo e espazo tan caros e fundamentais á Mecánica Clásica.

[editar] A transformada de Lorentz

Para se chegar as ecuacións da transformada de Lorentz basta analisar como as ecuacións de Maxwell se comportan con relación a unha transformación xeral de coordenadas. Mais para simplificar a matemática, utilízase no lugar das ecuacións de Maxwell unha das súas solucións, isto é, a ecuación de onda no vacuo:

$\frac{\partial^2\psi}{\partial^2 x} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2\psi}{\partial^2 t} = 0$

propagándose na dirección x con velocidade c.

Querse unha transformación lineal de coordenadas x, t para un novo referencial, x', t' que se move con velocidade ‘‘v’‘:

$x^\prime = \alpha x + \beta t$

$t^\prime = \gamma x + \delta t$

O problema é atopar $α,β,γ,δ$ de forma a que a ecuación de onda enriba continúe sendo unha ecuación de onda no novo referencial. Substituíndo na ecuación de onda e resolvendo a ecuación para $(α,β,γ,δ)$ obténse:

$\alpha^2 - \frac{\beta^2}{c^2} =1$

$\frac{c^2 \gamma}{\beta} = 1$

$\frac{}{} \alpha = \delta$

Substituíndo na transformación lineal orixinal:

$x^\prime = \alpha ( x + \frac{\beta}{\alpha} t )$

$t^\prime = \alpha ( \frac{\beta}{c^2\alpha} x - t)$

Comparando coa transformada de Galileu:

$x^\prime = x - v \cdot t$

$t^\prime = t$

atopase:

$\frac{\beta}{\alpha} = -v$

$\alpha = \frac{1}{ \sqrt(1 - \frac{v^2}{c^2} ) }$

substituíndo na transformación lineal inicial, atopase a ‘‘‘transformada de Lorentz’‘‘ entre dous referenciais en movemento relativo con velocidade ‘‘v’‘:

$x^\prime = \frac{1}{ \sqrt(1 - \frac{v^2}{c^2} ) } ( x - v \cdot t ) = \gamma ( x - v \cdot t )$

$t^\prime = \frac{1}{ \sqrt(1 - \frac{v^2}{c^2} ) } ( t - \frac{v}{c^2} x) = \gamma ( t - \frac{v}{c^2} x)$

Onde:

$\gamma = \frac{1}{ \sqrt(1 - \frac{v^2}{c^2} ) }$

chámase de factor de Lorentz.

Unha das conclusións máis espectaculares da transformada de Lorentz é obtida calculándose a velocidade de grupo dunha perturbación que se propaga neste referencial:

$\frac{dx^\prime}{dt^\prime} = \frac{\alpha dx + \beta dt}{\gamma dx + \delta dt } = c = \frac{dx}{dt}$