Lorentzova transformácia

Z Wikipédie

Vzťah medzi referenčnou súradnicovou sústavou a jej Lorentzovou transformáciou.

Lorentzova transformácia vo fyzike znamená množinu štyroch rovníc používaných na prepočet súradníc priestoru a času pri prechode medzi inerciálnymi súradnicovými sústavami za predpokladu konštantnej rýchlosti svetla vo všetkých inerciálnych sústavách. V roku 1905 pomenoval Henri Poincaré Lorentzovu transformáciu po nemeckom fyzikovi a matematikovi Hendrikovi Antoonovi Lorentzovi (1853-1928). Vytvorili matematickú bázu pre Einsteinovu špeciálnu teóriu relativity. O Lorentzovej transformácii sa môže uvažovať aj ako o rotácii v Minkowského priestoročase. Všeobecnejšia množina transformácií zahrňujúca tiež transláciu aj priestorovú rotáciu súradnicových ôs sa nazýva Poincarého grupa.

Predpokladajme, že máme dvoch pozorovateľov O a O'. Obaja používajú svoju vlastnú karteziánsku súradnicovú sústavu na meranie časových a priestorových intervalov. O používa (x,y,z,t) a O' používa (x',y',z',t'). Teraz predpokladajme, že obaja pozorovatelia sú vzhľadom na seba v stave rovnomerného priamočiareho pohybu v smere osi x. Rýchlosť v smere osi y aj z je nulová a v čase merania sa os x pozorovateľa O prekrýva s osou x' pozorovateľa O'. Ak vezmeme do úvahy fakt, že rýchlosť svetla je konštantná vzhľadom na akúkoľvek inerciálnu súradnicovú sústavu (potvrdený v roku 1887 v Michelsonovom-Morleyovom experimente), potom môžeme jednoducho vyvodiť nasledujúce hodnoty kontrakcie dĺžky a dilatácie času súradnicovej sústavy pozorovateľa O' vzhľadom k súradnicovej sústave pozorovateľa O:

$x = \frac{x' + vt'}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

y = y'

z = z'

$t = \frac{t' + (v/c^2)x'}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ .

Lorentzova transformácia sa zapisuje v maticovej forme ako:

$\begin{bmatrix} c t \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma&-\beta \gamma&0&0\\ -\beta \gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix}\ ,$

kde $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ sa nazýva Lorentzov faktor a $\beta = \frac{v}{c}$ .

Pri nízkych rýchlostiach sa táto transformácia blíži ku Galileovej transformácii z klasickej fyziky:

x' = x + v t

y' = y

z' = z

t' = t

Lorentzova transformácia bola poprvýkrát objavená a publikovaná Josephom Larmorom v roku 1897. V poradí prvá verzia transformácie bola ale publikovaná už v roku 1890 Hendrikom Lorentzom. Svoju konečnú verziu publikoval ten istý autor v roku 1899 a 1904. Larmorove a Lorentzove konečné rovnice neboli zapísané v modernej symbolike a forme, ale boli algebraicky ekvivalentné tým, ktoré publikoval v roku 1905 Henri Poincaré, francúzsky matematik, ktorý ich upravil, aby dal týmto štyrom rovniciam koherentnú a konzistentnú formu, v ktorej ich poznáme dnes. Obaja, Larmor aj Lorentz, objavili, že transformácia rešpektuje Maxwellove rovnice elektromagnetizmu. Prírodné zákony sú symetrické vzhľadom k Lorentzovej transformácii, to znamená, že ak na ne aplikujeme Lorentzovu transformáciu, nezmenia sa.