Тензорное произведение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Тензорное (или индефинитное) произведение — операция над линейными пространствами ( $A \otimes B$ ), а также над элементами (векторами, …) перемножаемых пространств. Перемножение двух тензоров ранга $p$ и $q$ даст тензор ранга $p + q$ .

Замечание: определение тензорного произведения линейных пространств здесь (пока) не дано. См. английскую статью.

[править] Тензорное произведение двух векторов

(Матричное) умножение вектора-столбца справа на вектор-строку даёт их тензорное произведение:

$\mathbf{a} \otimes \mathbf{b} \rightarrow \begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_1 & b_2 & b_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_1b_1 & a_1b_2 & a_1b_3 \\ a_2b_1 & a_2b_2 & a_2b_3 \\ a_3b_1 & a_3b_2 & a_3b_3 \\ a_4b_1 & a_4b_2 & a_4b_3\end{bmatrix}$

или, если пользоваться верхними и нижними индексами:

$\mathbf{a} \otimes \mathbf{b} \rightarrow a_ib^j$

Если же не привязываться к матричной форме записи и матричнным операциям, то, как и для тензоров более высокого ранга, прямое произведение будет представлять тензор более высокого ранга (для произведения векторов — второго, то есть с двумя значками) с компонентами, равными произведениям компонент множителей с соответствующими индексами:

$P_i^{\ j} = a_ib^j$

$P_{ij}\ = a_ib_j$

$P^{ij}\ = a^ib^j$

Произведение двух векторов называется также диадным, а результат (тензор второго ранга) - диадой.

Тензорным произведением пространства векторов-столбцов на пространство векторов-строк является пространство матриц.

[править] Тензорное произведение двух тензоров

Пусть у нас имеется два тензора, например $T i j$ и $G k l$ . Тогда:

${(T \otimes G)}_{ijkl} = T_{ij} G_{kl}$

Аналогично определяется тензорное произведение для другого количества индексов, в том числе не только нижних, но и верхних. То есть, все индексы сомножителей сохраняются.

[править] Наиболее общий случай

Перемножаемые тензоры могут иметь индексы, не обязательно относящиеся к одному и тому же линейному пространству.

[править] Действие на размерность пространства

Размерность пространств перемножается, то есть тензорное произведение имеет количество компонент, равное произведению количеств компонент сомножителей.