Участник:Ielkin
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
3054
Преобразования не единственны.
Аннотация: Практически весь аппарат физики зависит от преобразований координат. Для пространства Минковского доказано, что преобразования Лоренца единственны, но если рассмотреть некое подпространство (причем наиболее существенное при измерениях), то мы обнаружим не единственность этих преобразований, что важно практически и теоретически.
Lorenc transformation is not unique.
Рассмотрим пространство Минковского и изотропный конус. Рассмотрим две точки М и
М’ на поверхности изотропного конуса. Попробуем определить: есть ли единственность перевода точки М в точку М’, то есть, только ли известные преобразования Лоренца переводят М в М’.
Преобразования должны быть ортогональны, чтобы преобразования входили в ортогональную группу, для которой существует инвариант двух точек, то есть интервал, что дает нам право задать метрическую форму.
Рассматриваем, как получают условие ортогональности: оно начинается с рассмотрения вырожденности канонической квадратичной формы. Форма должна быть не вырожденной, тогда используется известная формула. Так как мы рассматриваем поверхность изотропного конуса, то форма у нас тождественный ноль, а значит вырождена. Это означает, что наша форма должна иметь на одну координату меньше, чем размерность пространства. (Все это общеизвестные факты, см. литературу.) Если точку М определяют координаты x,y,z,t, а точку М’ определяют координаты x’,y’,z’,t’, тогда преобразования Лоренца (не будем расписывать всем известные коэффициенты) выглядят:
t=At’+Bx’, x=Dt’+Ex’ , y=y’, z= z’, (1)
Чтобы форма не была тождественно равна нулю, и чтобы в ней было не четыре координаты (так как размерность пространства четыре) нам необходимо зафиксировать, к примеру, координату z=z^, z’=z^’. Разделим форму для x,y,z,t на z^, а форму для x’,y’,z’,t’ на z^’, а затем заменим все координаты:
T=t/z^, X= x/z^, Y=y/z^ и T’=t’/z^’, X’=x’/z^’, Y’=y’/z^’, (2)
ясно, что мы получили квадратичные формы в каноническом виде отличные от нуля (не будем их расписывать).
Подставим в (2) формулы (1), тогда (в трехмерном пространстве, на котором заданы координаты T,X,Y):
T= AT’+BX’, X= DT’+EX’, Y=Y’, (3)
уравнения (3) в точности совпадают с известными преобразованиями Лоренца, а значит ортогональны. Что и требовалось доказать – это мы доказали с точки зрения специальной теории относительности.
Но мы видим, что при введении произвольного коэффициента N для всех координат одновременно изменений в уравнениях (3) не произойдет, действительно, если t=N(At’+Bx’), x=N(Dt’+Ex’) , y=Ny’, z= Nz’, (4)
то уравнения (3) не изменятся, при этом сохранится их ортогональность, но уравнения (1) не будут единственными. Интервал, записанный в координатах (4) не изменяется, так как он - тождественный ноль, исследование на ортогональность по известным формулам не проводится, так как форма вырождена, но после того, как придем к не вырожденной форме (в трехмерном пространстве, на котором заданы координаты T,X,Y), преобразования координат будут ортогональны. Надо отметить, это возможно только на поверхности изотропного конуса.
Литература: 1) Н.В. Ефимов, «Высшая геометрия», Москва, государственное издательство физико-математической литературы,1961г., печ. л. 36,25.
2) Г.Е. Шилов, «Математический анализ. Конечномерные линейные пространства», Москва, издательство «Наука», 1969 г., печ. л. 13,5.
14 мая 2008 г. Елкин Игорь Владимирович ielkin@yandex.ru
