Isomorfisme
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de wiskunde worden isomorfismen gebruikt om uit te drukken wanneer twee gegeven objecten als gelijk kunnen worden beschouwd. Het zijn in het bijzonder transformaties tussen deze objecten die de structuur van die objecten bewaren. De isomorfismen negeren de onbelangrijke details en beschrijven precies de structuur die het object heeft.
Inhoud |
[bewerk] Bijzondere gevallen
Isomorfismen kunnen het makkelijkst worden gedefinieerd door te kijken naar concrete situaties:
- In de lineaire algebra spreekt men van vectorruimte-isomorfismen. Veronderstel dat 'V' en 'W' twee vectorruimten zijn. Een vectorruimte-isomorfisme van 'V' naar 'W' is dan een morfisme van vectorruimten
zodat er een invers morfisme van vectorruimten 
bestaat en zodat er voldaan is aan de identiteiten 
en 
. In het bijzonder zijn de vectorruimte-isomorfismen bijectieve vectorruimte-morfismen. Indien het duidelijk is dat er met vectorruimten wordt gewerkt, spreekt men ook gewoonweg van morfismen en isomorfismen.
- In de groepentheorie spreekt men van groepsisomorfismen of isomorfismen van groepen. Veronderstel dat 'G' en 'H' twee groepen zijn. Een isomorfisme van 'G' naar 'H' is een morfisme van groepen
zodat er een morfisme van groepen 
bestaat met 
en 
. De analoge opmerkingen gaan op.
- Geheel analoog kan men spreken van isomorfismen van Lie-algebra's, Lie-groepen, Euclidische ruimten, algebra's, velden, ringen, modulen, ... enz.
[bewerk] Definitie
Veronderstel dat A en B twee objecten met een gelijkaardige structuur zijn, i.e. het zijn beide Lie algebra's ( of velden, of vectorruimten, of ...). Een isomorfisme van 'A' naar 'B' is dan een morfisme van 'A' naar 'B' zodanig dat er een invers morfisme van 'B' naar 'A' bestaat. Merk op dat het woord morfisme hier gedefinieerd is in termen van de structuur die werd uitgekozen.
Twee objecten zijn isomorf indien er een isomorfisme tussen deze objecten bestaat.
[bewerk] Voorbeelden
- Beschouw het Euclidische vlak. Een rotatie (draaiing) rond de oorsprong bewaart de afstand tussen punten. Dit betekent dat het een morfisme van de ruimte is. De omgekeerde rotatie zal ook de punten bewaren en dus ook een morfisme zijn. Het is duidelijk dat deze twee morfismen elkaars inverse zijn. In het bijzonder hebben we te maken met een isomorfisme. Men gebruikt in dit geval echter eerder isometrie in plaats van isomorfisme van het Euclidische vlak.
- Beschouw een twee-dimensionale (reële of complexe) vectorruimte, 'V'. Definieer de afbeelding van V naar zichzelf die alle vectoren met een vaste factor twee vermenigvuldigt. Dan is deze afbeelding een morfisme van de vectorruimte 'V' naar zichzelf. Het inverse morfisme is hier het morfisme dat alle vectoren door twee deelt. In het bijzonder hebben we te maken met een isomorfismen van vectorruimten.
- Beschouw de volgende groepen: de groep van de positieve reële getallen voorzien van de vermenigvuldiging enerzijds, en de groep van al de reële getallen voorzien van de optelling anderzijds. Dan is de logaritmische functie van de eerste groep naar de tweede groep, een isomorfisme van groepen. Het inverse morfisme is in dit geval de welbekende exponentiële afbeelding. Bovendien zijn de twee morfismen ook continu (voor de evidente topologieen). In het bijzonder hebben we dus isomorfismen van topologische groepen.
- In de lineaire algebra is er het volgende resultaat. Twee eindig-dimensionale vectorruimten zijn isomorf als en slechts als hun dimensies gelijk zijn. Deze uitspraak hoeft zeker niet op te gaan voor andere objecten zoals Lie algebra's.
- In sommige theorieën is een isomorfisme niets anders dan een bijectief morfisme. Dit is bijvoorbeeld zo bij groepen en vectorruimten.
[bewerk] Zie ook
- morfisme
- automorfisme
- endomorfisme
- Categorie (wiskunde)
