Izomorfizm
Z Wikipedii
Spis treści |
Izomorfizm (gr. isos – równy, morphe – kształt) – wzajemnie jednoznaczne przekształcenie jednego uniwersum w inne zachowujące jego strukturę i/lub operacje, np. zbiory, funkcje, relacje itp.
[edytuj] Definicja w algebrze
W konkretnych obiektach algebry uniwersalnej (takich jak grupy, pierścienie, moduły itp.) izomorfizmem nazywamy wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie f takie, że f i jego odwrotność f − 1 są homomorfizmami.
[edytuj] Definicja w teorii kategorii
Morfizm nazywa się izomorfizmem, jeżeli istnieje morfizm taki, że oraz .
Jeżeli morfizm posiada lewą i prawą odwrotność i są one równe, to f jest izomorfizmem, zaś g nazywane jest po prostu odwrotnością f. Morfizm odwrotny do danego, jeżeli istnieje, jest dokładnie jeden. Odwrotność g jest także izomorficzna z odwrotnością f. O dwóch obiektach między którymi istnieje izomorfizm mówi się, iż są izomorficzne lub równoważne.
Przykłady:
- W Set izomorfizmami są bijekcje.
- W Grp izomorfizmami są izomorfizmy grup.
- W Vec izomorfizmami są izomorfizmy przestrzeni.
- W Top izomorfizmami są homeomorfizmy.
- W Met izomorfizmami są izometrie.
- W Pos izomorfizmami są izomorfizmy porządków.
[edytuj] Przykłady
- Izomorfizm z grupy w grupę to funkcja wzajemnie jednoznaczna zachowująca działanie grupowe, czyli taka, że .
- Izomorfizm z ciała w ciało to bijekcja taka, że .
- Izomorfizm z częściowego porządku (P, < ) w częściowy porządek to funkcja wzajemnie jednoznaczna .
[edytuj] Izomorfizm jako relacja
O strukturach i powiemy, że są izomorficzne, jeżeli istnieje izomorfizm z w . Można więc również mówić o izomorfizmie w znaczeniu nie przekształcenia, lecz relacji równoważności. W różnych działach matematyki często nie odróżnia się obiektów uznawanych za izomorficzne.
[edytuj] Izomorfizm w metodologii nauki
W metodologii nauki izomorfizm to stosowalność formalizmu matematycznego do opisu świata.