Categorie (wiskunde)
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Dit artikel slaat op het begrip categorie uit de wiskundige categorietheorie. Voor het topologische begrip met dezelfde naam, zie categorie (topologie).
Een wiskundige categorie is een verzameling van objecten en afbeeldingen tussen die objecten. De categorietheorie, die deze categoriëen bestudeert, is een onderdeel van de wiskundige logica en kan door zijn algemeenheid toegepast worden op vele andere wiskundige gebieden, zoals de topologie, de verzamelingenleer, de groepentheorie en de algebra. Een aantal stellingen en definities binnen deze takken van wiskunde blijken slechts in termen van de objecten en afbeeldingen ertussen te kunnen worden uitgedrukt.
[bewerk] Inleiding
Allereerst volgt hier een voorbeeld van een categorie, om de termen in de definitie duidelijk te maken. In de categorie van groepen, zijn de objecten alle groepen, en de afbeeldingen zijn de homomorfismen daartussen, afbeeldingen die de structuur van de groep behouden. Bij iedere afbeelding hoort een domein en een codomein, de groepen waar de afbeelding vandaan komt, respectievelijk naar toe gaat. Bij elke groep kan je het isomorfisme van die groep naar zichzelf maken, dit is de eenheidsafbeelding die bij dat object hoort. Verder kunnen twee homomorfismen samengesteld worden tot een nieuw homomorfisme.
[bewerk] Definitie
Een categorie bestaat uit een klasse objecten, meestal aangegeven met hoofdletters A,B,C, ..., een klasse afbeeldingen of morfismen, meestal aangegeven met kleine letters f,g,h, ... en vier operaties. De eerste twee operaties wijzen bij iedere afbeelding twee objecten aan, het domein en het codomein. De derde operatie wijst bij ieder object een unieke afbeelding aan, de eenheidsafbeelding. De vierde operatie (de samenstelling) geeft bij elk koppel van afbeeldingen, waarbij het domein van de een het codomein van de andere is, een nieuwe afbeelding, de samenstelling. Notatie: Voor het domein en codomein van een afbeelding f schrijven we respectievelijk dom(f) en cod(f), voor de eenheidsafbeelding van het object A schrijven we 1A en voor de samenstelling van de functies f en g, waarbij dom(f)=cod(g), schrijven we 
('f na g'). De volgende voorwaarden moeten gelden:
- dom(1A)=cod(1A)=A,
- dom() = dom(g), cod() = cod(f),
- Als dom(f)=C en cod(f)=D, dan
, 
(associativiteit).
Voor dom(f)=C en cod(f)=D noteren we, zoals gebruikelijk 
of 
.
De klasse der objecten en de klasse der morfismen zijn meestal te groot om formeel als verzameling te kunnen worden opgevat. Als ze allebei toch echte verzamelingen zijn, dan spreekt men soms van een kleine categorie.
[bewerk] Voorbeelden
Onderstaande tabel geeft de standaardnamen van enkele veel bestudeerde categorieën.
| Categorie | Objecten | Morfismen |
|---|---|---|
| Set | Verzamelingen | Afbeeldingen |
| Grp | Groepen | Homomorfismen |
| Ab | Abelse groepen | Homomorfismen |
| Top | Topologische ruimten | Continue afbeeldingen |
Als V een verzameling is, en R een relatie van V naar V die reflexief en transitief is, dan kunnen de elementen van V worden opgevat als objecten van een kleine categorie, en de koppels van R als de morfismen van die categorie.
