Automorfisme

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

[bewerk] Overzicht

Een automorfisme is in de wiskunde een bijectieve afbeelding van een object naar zichzelf die de structuur van het object behoudt, anders gezegd een endomorfisme van het object naar zichzelf.

Omdat de samenstelling van twee automorfismen weer een automorfisme is en de inverse van een automorfisme ook weer een automorfisme is, vormen de automorfismen van een vast object een groep, de automorfismegroep van het object. De studie van deze groepen speelt in veel takken van de wiskunde een belangrijke rol, en met name in de Galoistheorie is het centrale studieobject een groep van automorfismen van een lichaam.

[bewerk] Automorfismegroep

We definiëren voor elke groep G de verzameling van automorfismes door $Aut(G)=\left\{\varphi:G\rightarrow G|\forall_{g,h\in G}:\varphi(gh)=\varphi(g)\varphi(h)\right\}$ .

Stelling: $\left(Aut(G),\circ\right)$ is een groep met $\circ$ de reguliere functiecompositie.

Bewijs:

We merken allereerst op dat $Aut(G)\neq\emptyset$ , omdat $id_G:G\rightarrow G:g\mapsto g\in Aut(G)$ .
$\forall_{\varphi,\psi,\chi\in Aut(G)}\forall_{g\in G}:\left(\varphi\circ\psi\right)\circ\chi(g)=\varphi\left(\psi\left(\chi(g)\right)\right)=\varphi\circ\left(\psi\circ\chi\right)(g)$ . (Associativiteit)
Zij $\varphi,\psi\in Aut(G)$ . Er geldt nu dat $\forall_{g,h\in G}:\varphi\circ\psi(gh)=\varphi(\psi(gh))=\varphi(\psi(g)\psi(h))=\varphi(\psi(g))\varphi(\psi(h))=\varphi\circ\psi(g)\varphi\circ\psi(h)$ . Ofwel, $\varphi\circ\psi\in Aut(G)$ . (Sluiting)
Zij $\varphi\in Aut(G)$ . We zien nu dat $\forall_{g\in G}:id_G\circ\varphi(g)=\varphi(g)=\varphi\circ id_G(g)$ . (Identiteit)
Ieder isomorfisme, en dus ook ieder automorfisme, is een bijectie en daarom inverteerbaar. Deze inverse is wederom een automorfisme en zit daarom ook in $A u t (G)$ . Ofwel, $\forall_{\varphi\in Aut(G)}\exists_{\varphi^{-1}\in Aut(G)}:\varphi\circ\varphi^{-1}=\varphi^{-1}\circ\varphi=G\rightarrow G:g\mapsto g=id_G$ . (Inverse)