Exponentiële functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

De exponentiële functie, genoteerd als $e x p (x)$ of $e x$ , is zoals de naam aangeeft een functie van de exponent en wel met grondtal het getal e, het grondtal van de natuurlijke logaritme. De exponentiële functie is een belangrijke, veelgebruikte functie in de wiskunde. Hiernaast staat de grafiek van deze functie getekend.

De exponentiële functie is vrijwel vlak voor negatieve waarden van x, maar wordt snel groter bij hogere, positieve waarden van x.

Soms wordt de term exponentiële functie gebruikt voor elke functie met de vorm ka^x, waarin a een willekeurig positief reëel getal is. De variabele x kan elk reëel of complex getal zijn, of kan zelfs een geheel ander wiskundig object zijn. Zo'n functie gedraagt zich als het ware hetzelfde als de bovengenoemde. Zo laat zich het 'exponentiële' gedrag gemakkelijk begrijpen uit de functie $f (x) = 2 x$ ; $f (1) = 2 1 =$ 2, $f (2) = 2 2 =$ 4, $f (3) = 2 3 =$ 8, ...

[bewerk] Formele definitie

De exponentiële functie kan op verschillende wijzen formeel gedefinieerd worden. Twee gangbare definities zijn:

als een oneindige reeks

$e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots$

als de limiet van een rij:

$e^x = \lim_{n \to \infty} \left(1 + {x \over n} \right)^n$ .

Hierin staat $n!$ voor n faculteit en is x niet beperkt tot een reëel getal, maar kan x ook een complex getal zijn of enig ander element van een Banach-algebra.

De exponentiële functie is altijd positief (groter dan nul) en neemt toe met groter wordende x. De grafiek van de functie raakt de x-as echter niet, hoewel hij er willekeurig dicht toe kan naderen. De exponentiële functie is de inverse van de natuurlijke logaritme, ln(x), die gedefinieerd is voor alle positieve waarden van x.

[bewerk] Voorbeeld

Een voorbeeld van een exponentiële functie is iets wat bij iedere stap verdubbelt. Bij het begin heb je 1, na de eerste stap heb je 2, na de tweede 4, na de derde 8, na de vierde 16, en na de vijfde 32. De functiewaarde groeit dus veel sneller dan het argument. Bacteriegroei is een typisch voorbeeld van iets dat zich exponentieel ontwikkelt. Deze functies beschrijven dus wat er gebeurt bij een exponentiële groei.

[bewerk] Eigenschappen

Als het grondtal tussen 0 en 1 ligt, daalt de functie, en als het grondtal groter is dan 1, stijgt de functie. De afgeleide van een exponentiële functie is ook een exponentiële functie met hetzelfde grondtal maal de natuurlijke logaritme van het grondtal.

De formele definitie van een exponentiële functie is:

$\!\, a^x=e^{x \ln a}$

Deze is gedefinieerd voor alle waarden van a > 0, en alle reële getallen x. Deze functie wordt de exponentiële functie met basis a genoemd.

Het nevenstaande geldt ook voor a = e, omdat

$\!\, e^{x \ln e}=e^{x\left(1\right)}=e^x.$

Exponentiële functies geven als het ware een vertaling tussen optellen en vermenigvuldigen, zoals naar voren komt in de volgende exponentiële wetten:

$\!\, a^0 = 1$

$\!\, a^1 = a$

$\!\, a^{x + y} = a^x a^y$

$\!\, a^{x y} = \left(a^x \right)^y$

$\!\, {1 \over a^x} = \left({1 \over a}\right)^x = a^{-x}$

$\!\, a^x b^x = (a b)^x$

Deze relaties zijn geldig voor alle positieve reële getallen a en b en alle reële getallen x en y. Uitdrukkingen met breuken en wortels kunnen vaak worden vereenvoudigd met de exponentiële notatie, omdat

${1 \over a} = a^{-1}$