Exponentielle

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Cet article ou cette section ne cite pas suffisamment ses sources. (date inconnue)

Son contenu est donc sujet à caution. Wikipédia doit être fondée sur des sources fiables et indépendantes. Améliorez cet article en liant les informations à des sources, au moyen de notes de bas de page (voir les recommandations).

Pour les articles homonymes, voir Exp.

La Wikiversité possède des cours sur « la fonction exponentielle au niveau lycée ».

La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe plusieurs définitions équivalentes : un morphisme continu de groupes R→R^* ou C→C^*, une solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre un, ou encore une fonction analytique à une variable réelle ou complexe somme d'une série entière. Ces trois définitions permettent d'étendre la définition à la géométrie riemannienne, à la théorie des groupes de Lie, ou encore à l'étude des algèbres de Banach.

Sans s'étendre sur ces généralisations, les propriétés de l'application exponentielle sont largement abordables. Ses applications élémentaires concernent la résolution des équations différentielles, la mise en place de la théorie de Fourier, l'étude de la croissance des groupes, etc.

[modifier] Approche vulgarisée

Si a est un nombre réel et n est un nombre entier, alors l'« exponentielle de n en base a » est égale à « a puissance n » soit :

$\exp_a(n) = a^n = \underset{n \text{ fois}}{\underbrace{a\times a\times \cdots \times a}}$

On peut étendre cette fonction aux nombres non entiers. On démontre alors que les exponentielles sont les fonctions réciproques des logarithmes log_a, et d'autre part que les fonctions trigonométriques peuvent s'exprimer de manière simple avec des exponentielles.

Ces fonctions se dérivent et s'intègrent de manière très simple, et interviennent dans de nombreuses solutions d'équations différentielles.

Il existe une base e telle que l'exponentielle de base e est la fonction réciproque du logarithme népérien ln. Dans cette base, la dérivée de la fonction exponentielle est égale à elle-même soit $(e x)' = e x$ . C'est cette base qui est la plus utilisée, et c'est à elle que l'on se réfère généralement si on n'en précise pas une autre.

[modifier] Définitions

[modifier] Morphisme continu

Il est naturel de vouloir chercher à décrire les morphismes continus f:R→R^* (ou par analogie C→C^*). Autrement dit, on cherche les applications continues f vérifiant l'équation fonctionnelle suivante :

$f(u+v)=f(u)\cdot f(v)$ .

Nécessairement, f est dérivable et vérifie l'équation différentielle :

$f'(x)=f'(0)\cdot f(x)$ .

En imposant f'(0)=1, on détermine f à une constante multiplicative 1. L'équation fonctionnelle impose cependant f (0)=1, donc f est uniquement déterminée.

Démonstration

Considérons une fonction continûment dérivable g d'une variable réelle et à support compact suffisamment petit et dont l'intégrale vaut 1. On définit la convoluée de f et de g comme suit :

$g*f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}g(y)f(x-y)dy=f(x)\cdot\int_{-\infty}^{+\infty}g(y).f(y)^{-1}dy$

L'intégrale du membre de droite est une constante d'autant plus proche de 1 que le support de g est petit. Donc, on peut choisir g de sorte que cette constante soit non nulle. A une constante multiplicative près, f est égale à la convoluée de f par une fonction continûment dérivable à support compact. De fait, f est elle-même dérivable.

Plus généralement, pour un groupe topologique G, on appelle sous-groupe à un paramètre tout morphisme continu R→G. Certains ouvrages peuvent remplacer l'hypothèse de continuité par la mesurabilité par exemple.

Article détaillé : sous-groupe à un paramètre.

[modifier] Équation différentielle

La seconde définition, équivalente à la précédente, est l'unique application dérivable f:R→R^* vérifiant l'équation différentielle :

f'(x) = f (x)

avec comme condition initiale

f (0) = 1

Cette définition se généralise pour les groupes de Lie et les géodésiques dans les variétés riemanniennes.

Articles détaillés : Exponentielle d'un groupe de Lie et Exponentielle d'une variété riemannienne.

[modifier] Série

Enfin, en appliquant la méthode de recherche de solutions analytiques des équations différentielles linéaires, on peut définir l'application exponentielle $exp$ ou encore $x\mapsto e^x$ comme la somme d'une série entière de rayon de convergence infini :

$\exp(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} {x^n \over n!}$ ,

où $n!$ est la factorielle de $n$ .

Comment trouver cette série ?

Supposons qu'il existe une solution analytique f somme d'une série entière de rayon de convergence R>0, disons, pour fixer les notations :

$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$ , avec a₀=1.

La dérivée est donnée par :

$f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}n\cdot a_nx^{n-1}$ .

De fait, l'équation f'(x)=f(x) s'écrit, par unicité des coefficients dans le développement en séries entières :

$a_n=(n+1)\cdot a_{n+1}$ .

Par une récurrence immédiate, on établit :

$a_n=\frac{1}{n!}$ .

Cette dernière approche permet une extension immédiate de la définition de l'exponentielle aux algèbres de Banach. Le développement en fraction continue est donné dans l'article Fraction continue.

Article détaillé : algèbre de Banach.

[modifier] Propriétés

[modifier] Fonctions exponentielles réelles

Représentation graphique de la fonction exponentielle dans $\R$

Du fait de la continuité, supposée dans les trois définitions donnée, si x est réel, alors exp(x) est un réel strictement positif. D'autre part la fonction exp de $\R$ dans $\R_+^*$ est strictement croissante, continue, continûment dérivable, infiniment dérivable, et encore mieux analytique (ie développable en séries entières au voisinage de tout point). De plus, $\lim_{x\to -\infty}\exp(x)=0$ et $\lim_{x\to +\infty}\exp(x)=+\infty$ , elle admet donc une application réciproque, qui est la fonction logarithme népérien ln, définie sur $\R_+^*$ .

Comme les dérivées successives de exp sont exp, la dérivée seconde est positive. Donc exp est convexe.

En utilisant la fonction logarithme népérien ln, on peut définir pour tout $a > 0$ la fonction exponentielle de base a notée $exp a$ ou $x\mapsto a^x$ , par :

$\forall x,\ a^x = \exp(\ln(a) x)$ .

La fonction exponentielle permet aussi de définir les fonctions trigonométriques avec les formules d'Euler et les fonctions hyperboliques. Ainsi nous voyons que toutes les fonctions élémentaires, à l'exception des fonctions polynomiales, s'expriment à partir de la fonction exponentielle, sous une forme ou une autre.

Les fonctions exponentielles «transforment une addition en une multiplication», comme le montrent ces propriétés :

a 0 = 1

a 1 = a

$a^{x + y} = a^x\cdot a^y$

$a^{x y} = \left( a^x \right)^y$

$\frac1{a^x} = \left(\frac1a \right)^x = a^{-x}$

a x b x = (a b) x

Elles sont valables pour tous réels strictement positifs a et b et pour tous réels x et y.

Pour a réel strictement positif, $exp a$ est le seul morphisme monotone du groupe additif $\R$ dans le groupe multiplicatif $\R_+^*$ des réels strictement positifs vérifiant $exp a (1) = a$ .

Pour a=1, la fonction exponentielle est constante et égale à 1, et n'est ainsi plus bijective. Quand a ≠ 1, la fonction exponentielle est un isomorphisme du groupe additif $\R$ sur le groupe multiplicatif $\R_+^*$ ; strictement croissant si a>1 et strictement décroissant si a<1.

D'autre part, il est possible d'écrire des expressions faisant intervenir des quotients ou des racines en utilisant la notation exponentielle. Par exemple :

$\frac1a = a^{-1}$

$\sqrt{a} = a^{1/2}$

$\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$

[modifier] Fonction exponentielle dans le plan complexe

On peut définir la fonction exponentielle complexe de 2 façons:

$exp(i x) = cos(x) + i sin(x)$
En utilisant le développement en série de l'exponentielle qui permet d'étendre celle-ci au plan complexe.

$\exp(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} {z^n \over n!}$

La fonction exponentielle vérifie alors les propriétés importantes suivantes, pour tous z et w :

exp(z + w) = exp(z)exp(w)

exp(0) = 1

$\exp(z) \ne 0$

$\exp '(z) = \exp(z)\!$

Ces formules se montrent à l'aide des formules de trigonométrie ou à l'aide de la notion de produit de Cauchy de deux séries selon le mode de définition de l'exponentielle.

La fonction exponentielle dans le plan complexe est une fonction holomorphe qui est périodique, de période imaginaire $2π i$ et vérifie :

$\exp(a + bi) = \exp(a) \cdot (\cos(b) + i \sin(b))$

où $a$ et $b$ sont des nombres réels. Cette formule est le lien entre la fonction exponentielle et les fonctions trigonométriques, et c'est la raison pour laquelle prolonger le logarithme naturel à l'ensemble des nombres complexes, donne naturellement une fonction multiforme $z\mapsto \ln(z)$ , appelée logarithme complexe.

On peut définir une exponentielle plus générale :

pour tous nombres complexes z et w,

z w = exp(ln(z) w)

C'est également une fonction multiforme. Les propriétés ci-dessus des exponentielles restent vraies à condition de les interpréter convenablement comme des relations entre fonctions multiformes.

[modifier] Représentation

La fonction exponentielle a pour représentation dans le plan complexe:
$z=\Re(\exp(x+iy))$	$z=\Re(\exp(x+iy))$	$z=\Im(\exp(x+iy))$	$z=\Im(\exp(x+iy))$
$z=\Re\left(\frac{1}{\exp(x+iy)}\right)$	$z=\Re\left(\frac{1}{\exp(x+iy)}\right)$	$z=\bigg\|\Re\left(\frac{1}{\exp(x+iy)}\right)\bigg\|$	$z=\bigg\|\Re\left(\frac{1}{\exp(x+iy)}\right)\bigg\|$
$z=\Im\left(\frac{1}{\exp(x+iy)}\right)$	$z=\Im\left(\frac{1}{\exp(x+iy)}\right)$	$z=\bigg\|\Im\left(\frac{1}{\exp(x+iy)}\right)\bigg\|$	$z=\bigg\|\Im\left(\frac{1}{\exp(x+iy)}\right)\bigg\|$
$z=\|\exp(x+iy)\|\,$	$z=\arg(\exp(x+iy))\,$

[modifier] Application

[modifier] Fonction trigonométrique

Article détaillé : Fonction trigonométrique.

La fonction exponentielle est d'une utilité capitale en trigonométrie. Les formules d'Euler (que l'on démontre à partir de la définition $exp(i z) = cos(z) + i sin(z)$ ) nous donnent un lien direct entre les fonction cosinus et sinus, réelles ou non, et la fonction exponentielle complexe.

$\cos x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2}$

$\sin x = {e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}$

Ces formules permettent de retrouver la plupart des formules trigonométriques, en particulier

$\cos(a+b)= \cos(a) \cos(b) -\sin(a) \sin(b) ~$

$\sin(a+b)= \sin(a) \cos(b) +\sin(b) \cos(a) ~$

à partir desquelles on peut retrouver quasiment toutes les autres.

La fonction exponentielle est aussi un moyen facile (bien que les calculs puissent être longs) de linéariser des fonctions trigonométriques.

$\cos^{n} x = \left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^{n}$

$\sin^{n} x= \left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^{n}$

Il suffit alors de développer la somme grâce à la formule du binôme de Newton, à regrouper les termes sachant que

e i (n - k) x e - i k x = e i (n - 2 k) x

e i m x + e - i m x = 2cos(m x)

e i m x - e - i m x = 2 i sin(m x)

La fonction exponentielle trouve aussi son utilité quand on veut démontrer la formule de Moivre.

[modifier] Fonction exponentielle et trigonométrie hyperbolique

A partir de la fonction exponentielle, on peut définir les fonctions de trigonométrie hyperbolique, définissant les fonctions hyperboliques cosinus hyperbolique, ch (ou cosh en anglais) et sinus hyperbolique, sh (ou sinh en anglais), utilisées en partie dans les résolutions des équations différentielles de second ordre.

[modifier] Théorie de Fourier

Article détaillé : Théorie de Fourier.

[modifier] Équation différentielle linéaire

Article détaillé : équation différentielle linéaire.

L'importance majeure des fonctions exponentielles en sciences, provient du fait qu'elle sont des multiples constants de leur propre dérivée. a étant un nombre réel ou complexe, on a :

(λ e a x)' = a λ e a x

ou plus exactement, on a $\varphi : x\mapsto \lambda e^{ax}$ si et seulement si

$\varphi' = a \varphi$ et $\varphi(0) = \lambda$

Si une grandeur croît ou décroît, en fonction du temps et que la vitesse de «sa course» est proportionnelle à «sa taille», comme dans le cas de la croissance d'une population, des intérêts composés continus ou de la décroissance radioactive, alors cette grandeur peut être exprimée comme une constante fois une fonction exponentielle du temps.

La fonction exponentielle de base e est solution de l'équation différentielle élémentaire :

y' = y

et on la rencontre fréquemment dans les solutions d'équations différentielles. En particulier, les solutions d'une équation différentielle linéaire peuvent être écrites à l'aide des fonctions exponentielles. On les trouve aussi dans les solutions des équations différentielles de Schrödinger, de Laplace ou dans l'équation différentielle du mouvement harmonique simple.