Cosinus hyperbolique
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Le cosinus hyperbolique est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.
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[modifier] Définition
La fonction cosinus hyperbolique, notée cosh (parfois, mais plus rarement, ch) est la fonction complexe suivante :
où e est la fonction exponentielle complexe.
La fonction cosinus hyperbolique est en quelque sorte l'analogue de la fonction cosinus dans la géométrie hyperbolique.
[modifier] Propriétés
[modifier] Propriétés générales
- cosh est continue et infiniment dérivable.
- La dérivée de cosh est sinh, la fonction sinus hyperbolique.
- La primitive de cosh est sinh+C, à une constante d'intégration C près.
- La restriction de cosh à est paire et strictement croissante sur .
[modifier] Propriétés trigonométriques
De part les définitions des fonction cosinus et sinus hyperbolique, on peut déduire les égalités suivantes :
- ez = cosh(z) + sinh(z)
- e − z = cosh(z) − sinh(z)
Ces égalités sont analogues à la formule d'Euler en trigonométrie classique.
De même que les coordonnées (cos(t), sin(t)) définissent un cercle, (cosh(t),sinh(t)) définissent la branche positive d'une hyperbole équilatérale. On a en effet pour t>0 :
- cosh2(t) − sinh2(t) = 1.
D'autre part, pour :
- cosh(x) = cos(ix)
- cosh(x + y) = cosh(x)cosh(y) + sinh(x)sinh(y)
[modifier] Développement en série de Taylor
cosh, étant indéfiniment dérivable, possède un développement en série de Taylor en tout point :
[modifier] Valeurs
Quelques valeurs de cosh :
- cosh(0) = 1
- cosh(i) = cos(1)
[modifier] Fonction réciproque
cosh admet une fonction réciproque, notée arccosh (ou arcosh). Il s'agit d'une fonction à valeurs multiples complexe. Sa branche principale est généralement choisie en posant comme coupure le segment .
Pour , la restriction de cosh à admet deux réciproques : .
[modifier] Physique
La courbe représentative de la fonction cosh sur décrit une chaînette, c’est-à-dire la forme d'un câble fixé aux deux extrémités et soumis à la pesanteur.