Limiet
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Het woord limiet is afkomstig van het Latijnse "limes", dat "grens" betekent. In de wiskunde kan het begrip limiet of grenswaarde goed gedemonstreerd worden met het volgende voorbeeld. De getallen uit de rij 1, 1/2, 1/4, 1/8, ... naderen steeds dichter de grenswaarde 0. Het getal 0 is dan ook de limiet van deze rij.
Inhoud |
[bewerk] Limiet van een rij getallen
Een rij getallen heeft een limiet L, genoteerd als:
- (dwz., de limiet voor n naar oneindig van xn is L),
als de getallen van de rij willekeurig dichtbij L in de buurt komen. De exacte definitie is:
- als voor elke ε > 0 er een getal N bestaat, zodanig dat voor alle n>N geldt dat | xn - L | < ε.
Als een rij een limiet heeft, heet hij convergent, anders divergent.
[bewerk] Limiet van een rij in een topologische ruimte
Algemener kan men een rij beschouwen van elementen in een metrische ruimte of zelfs in een abstracte topologische ruimte . De rij heet convergent als er een element x in de topologische ruimte bestaat waarvan elke willekeurig kleine omgeving een hele staart van de rij omvat. Formeel heet x een limiet van de rij , als
- .
In een metrische ruimte heeft een rij hoogstens één limiet, in een algemene topologische ruimte kan eenzelfde rij verschillende limieten hebben. In een metrische ruimte wordt de topologische structuur volledig vastgelegd door de convergente rijen: de afsluiting van een verzameling bestaat uit alle limieten van rijen uit die verzameling. In een algemene topologische ruimte is dit evenmin gegarandeerd.
De algemene topologie veralgemeent het begrip rij nog tot filter. Een filter convergeert naar een punt x als alle omgevingen van x tot behoren. We zeggen in dat geval ook dat x een limiet is van . Convergentie van filters legt eenduidig de topologische structuur vast.
[bewerk] Limiet van een reeks getallen
Een convergente reeks is een reeks met een limiet. Deze limiet wordt de 'som' van de reeks genoemd. Een reeks zonder limiet heet divergent.
[bewerk] Limiet van een functie
Ook een functie kan in een bepaald punt een limiet hebben. Net als bij een rij zeggen we dat de functie f in het punt a de limiet L heeft, genoteerd als:
- (dwz. de limiet als x nadert tot a van f(x) is L),
als de functiewaarden willekeurig dicht bij L komen voor punten die dicht bij a liggen. De exacte definitie is:
- als voor elke ε > 0 er een δ > 0 bestaat, zodanig dat voor alle x met 0 < | x - a | < δ geldt dat | f(x) - L | < ε.
Merk op dat het punt a zelf expliciet buiten de definitie is gelaten. De functie kan in het punt a zelf een waarde hebben verschillend van de limiet, of daar zelfs niet gedefinieerd zijn. Zo is bijvoorbeeld f(x) = x2 / x niet gedefinieerd voor x=0, maar het is eenvoudig in te zien dat .
[bewerk] Onder- en bovenlimiet
Naast het begrip limiet bestaan ook nog boven- en onderlimiet. De bovenlimiet wordt geschreven als of , en gedefinieerd door:
- dan en slechts dan als voor elke ε > 0 er een δ > 0 bestaat, zodanig dat voor alle y met 0 < y - a < δ geldt dat | b - f(y) | < ε
De onderlimiet () wordt net zo gedefinieerd, maar met a-y in plaats van y-a. Merk op dat de limiet bestaat dan en slechts dan als de bovenlimiet en de onderlimiet beide bestaan en aan elkaar gelijk zijn.
[bewerk] Limieten in oneindig
Ook kunnen we de limiet voor x naar oneindig definiëren. We zeggen we dat de functie f(x) voor x → de limiet L heeft, genoteerd als:
- ,
als voor elke ε > 0 er een N bestaat, zodanig dat voor alle y>N geldt dat | f(y) − L | < ε.
[bewerk] Oneindig als 'limiet'
Wanneer de waarde van een functie of rij willekeurig groot wordt:
- dan en slechts dan als voor elke N er een δ > 0 bestaat, zodanig dat voor alle x met 0 < | x - a | < δ geldt dat f(x)>N.
Er is een verband met limieten van rijen: als een functie f een limiet heeft voor , dan heeft de rij xn = f(n) dezelfde limiet. Het omgekeerde geldt niet altijd, omdat de rij alleen naar de functiewaarden in de gehele getallen 'kijkt'; tussen de gehele getallen kan de functie zich natuurlijk nog sterk "misdragen".
[bewerk] Continuïteit van een functie
Een functie f is continu in een punt a als bestaat en gelijk is aan f(a). Een functie f heet simpelweg continu als hij in alle punten van zijn definitiegebied continu is.
[bewerk] Enkele voorbeelden
- Omdat de vorige twee ongelijk zijn, bestaat niet.
- (dit kan berekend worden met de regel van L'Hôpital)
[bewerk] Verklarend voorbeeld
We nemen de functie , en berekenen de limiet ervan in twee punten x = 0 en x = − 1.
- x=0
Zoals in de definitie vermeld, berekenen we de functiewaarden in punten dichtbij x=0:
f(-0,1) | f(-0,01) | f(-0,001) | f(0) | f(0,001) | f(0,01) | f(0,1) |
-0,909 | -0,990 | -0,999 | -1 | -1,001 | -1,010 | -1,111 |
We zien hier proberenderwijs dat de limiet van f(x) in x=0 waarschijnlijk -1 is; we noteren dit als:
- .
We merken op dat de functie f gedefinieerd is voor x=0, het lijkt ons dus interessant eens te kijken wat de functiewaarde in dat punt is:
- f(0)=-1
De functiewaarde in het punt 0 is gelijk aan de limiet in dat punt van de functie . Dat is de definitie van continuïteit, we kunnen stellen dat de functie f continu is in het punt x=0.
- x=-1
Op dezelfde manier als hierboven berekenen we functiewaarden dichtbij x= -1:
f(-1,1) | f(-1,01) | f(-1,001) | f(-1) | f(-0,999) | f(-0,99) | f(-0,9) |
-0,476 | -0,498 | -0,49975 | -0,5 | -0,5003 | -0,503 | -0,526 |
Hier vermoeden we dat de functie f een limiet heeft in x=-1, en dat deze -0,5 is:
- .
Opnieuw kijken we of deze limiet overeenkomt met de functiewaarde in dat punt.
We zien dat de functie niet gedefinieerd is voor x=-1; de noemer wordt namelijk nul. Hier hebben we een situatie dat de limiet bestaat, maar de functiewaarde niet.
Deze merkwaardige situatie kunnen we begrijpen door de originele functie te vereenvoudigen, zodat de "eenvoudigere" functie ontstaat, waarvoor de functiewaarde voor x=-1 wél gedefinieerd is (en gelijk is aan bovenstaande limiet!)
[bewerk] Limiet van een rij functies
Ook een rij functies kan een limiet hebben. De functionaalanalyse onderscheidt verschillende soorten convergentie. De meeste soorten convergentie kunnen worden opgevat als topologische convergenties, zoals hierboven bij "limiet van een rij in een topologische ruimte":
- puntsgewijze convergentie: voor elke waarde van x afzonderlijk convergeert de rij . De limietfunctie f beeldt x af op die afzonderlijke limiet
Dit is de convergentie van de producttopologie als elke functie wordt opgevat als een element uit een (oneindig) Cartesisch product.
- uniforme convergentie: voor voldoende grote indices in de staart van de functierij wordt het grootste absolute verschil tussen de limietfunctie en een lid van de rij willekeurig klein
Dit is de convergentie van de metrische ruimte van de supremumnorm.
- convergentie in kwadratisch gemiddelde: de functies naderen hun limiet met willekeurig kleine kwadratische fout
Dit is de convergentie van de pseudometrische ruimte van de kwadratisch-gemiddelde-seminorm.
- de Lp-ruimten voor leveren nog voorbeelden van metrische structuren op verzamelingen van functies (eigenlijk functieklassen), elk met hun eigen convergentiebegrip van rijen.
Wikibooks heeft een cursus over dit onderwerp: Limieten |