与えられた数より小さい素数の個数について
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『与えられた数より小さい素数の個数について』（あたえられたすうよりちいさいそすうのこすうについて[1]、ドイツ語の原題: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe, 英語での定訳: On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude）は、19世紀のドイツの数学者であるベルンハルト・リーマンが1859年に発表した論文である。同年の学術誌『ベルリン学士院月報』(Monatsberichte der Königlich Preußischen Akadademie der Wissenschaften zu Berlin) 上に掲載された。解析や幾何学の分野における業績が多かったリーマンが数論の分野で唯一発表した論文であり、僅か8ページしかなかったが、数々の画期的な内容を含み、後世に甚大な影響を及ぼした。特に解析的整数論においては、本論文は同分野の基本文献とされている。内容的には、この論文はあるべき大論文の要約版・研究速報と看做すことが出来たが、リーマン自身は7年後の1866年に39歳の若さで没したため、本論文の詳細版が出版されることは遂に無かった。もし詳細版が出版されていれば、関連分野の研究は70年は短縮されただろうという指摘がある[2]。
本論文には都合6個の予想が含まれていたが、リーマン没後、うち5つまでは後の数学者達によって証明が与えられた。最後に残されたのがリーマン予想であり、これは数論における最も重要な未解決問題の一つとされている。
この論文の影響は余りに大きかったため、例えば複素数の表記方法として普通は z = x + iy（特に z = 1/2 + iy）と書くところを、ゼータ関数の非自明な零点を論じる場合に限っては、本論文に因んで s = 1/2 + it と書く習慣がある[3]。また、「リーマンのゼータ関数」という名称も、元々オイラーが導入した関数であるにも関わらず、本論文にてリーマンが記号 ζ(s) を用いて記述したことから以後定着した。
目次 |
[編集] 導入された新定義
[編集] 記載された証明又は証明のあらまし
- ζ(s) の関数等式についての二通りの証明
- ξ(t) の積表示[6]の証明のあらまし（1896年にアダマール (en) が完全に証明）
- ξ(t) の零点のうち虚部が 0 と T の間であるものの近似的な個数についての証明のあらまし（1905年にフォン・マンゴルド (en) が完全に証明）
- リーマンの素数公式の証明のあらまし（1895年にフォン・マンゴルドが完全に証明）
[編集] 提起された予想
- リーマン予想：「ξ(t) の全ての零点は実数である」。α を ξ(t) の零点として、ζ(s) の負の偶数を除く零点は 1/2 + iα と書けるので、これは次のよく知られた形に言い換えられる。「ζ(s) の非自明な零点の実部は 1/2 に等しい」
[編集] 導入された新たな技法等
リーマンはまた関数 J(x) を本質的にスティルチェス積分 (en) の尺度として用い、ζ(s) と素数分布との関連を論じた。そして ln(ζ(s)) との比較を通じて、論文の主結果として J(x) を定式化した。リーマンは更に進んで、一部に困難が残ることを認めつつ、素数の数を与える関数 π(x) の近似公式の導出を試みた。素数分布をある程度正確に記述する素数定理は、後の1896年にド・ラ・ヴァレー・プーサンとアダマールによって独立に示された。もしリーマン予想が証明されれば、さらに精密な素数分布が導かれることが知られている。
[編集] 日本語訳
- 平林幹人訳「与えられた数より小さい素数の個数について」（鹿野健編『リーマン予想』日本評論社、1991年。ISBN 4-535-78181-8 17-28頁）
- 杉浦光夫訳「与えられた限界以下の素数の個数について」（足立恒雄・杉浦光夫・長岡亮介編『リーマン論文集』朝倉書店、2004年。ISBN 4-254-11460-5 155-162頁）
[編集] 脚注
- ^ 訳は上記文献の平林幹人による。
- ^ 黒川信重『ゼータの世界』（梅田亨・若山正人・中島さち子との共著）日本評論社 ISBN 453578261X、ISBN-13 978-4535782617
- ^ s = σ + it と書く習慣はエトムント・ランダウ (1903年) から始まる。
- ^ s = 1/2 + it として
- ^ 原論文では f(x) と表されている。x ≥ 0 で定義され、J(0) = 0 かつ J(x) は素数の冪 pn 毎に 1/n ずつ飛び飛びの値をとる。
- ^ ξ の積表示とは、次の等式のこと。
[編集] 関連項目
[編集] 外部リンク
[編集] 参考文献
- Harold M. Edwards, Riemann's Zeta Function, Dover Publications, 2001. ISBN 0-486-41740-9
