素数定理

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素数定理（そすうていり、Prime number theorem）とは自然数の中に素数がどのくらいの「割合」で含まれているかを述べる定理である。素数が自然数の中にどのように分布しているのかという問題は整数論において基本的な関心事であるが極めて難しく、2007年現在でも解明されていない部分も多い。この定理はその問題について重要な情報を与える。

この定理は、18世紀末にガウスやルジャンドルによって予想された（ガウス自身の言によればそれは1792年頃であるという）。実際にはルジャンドルが初めて自身の著『整数論』で公表し、少年ガウスがそれを知っていたことは結局死後に全集が出るまでは知られず、彼自身素数定理については友人に一度だけ手紙（1849年）で触れただけであった。

その後チェビシェフによる部分的な結果（1850年ごろ）や、リーマンによる新たな解析的方法が発表されたが、最終的には1896年にド・ラ・ヴァレー・プーサンとジャック・アダマールがそれぞれ独立に証明した。当初与えられた証明はゼータ関数と複素関数論を用いる高度なものであったが、1949年にアトル・セルバーグとエルデシュは独立に初等的な証明を与えた。ウィーナーや池原止戈夫らによるタウバー型定理によって、素数定理とゼータ関数が Re(s) = 1 上に零点を持たないことの同値性がすでに確立されていたために、この初等的な証明は大きな驚きをもって迎えられたという。

[編集] 近似式

具体的には、この定理は次の式で表される。

π(x)˜Li(x)

これは「π(x) を Li(x) で近似できる」と読むことができる。

ただし $π(x)$ は素数の個数関数または素数計数関数（prime counting function）と呼ばれる関数で、 $x$ 以下の素数の個数を表す。また Li(x) は（補正）対数積分（logarithmic integral）と呼ばれ、次の積分で定義される：

$\mathrm{Li}(x) = \int_2^x \frac{dt}{\log t}$

（積分の下端の選択は定理の本質に関係しないが、慣例的に最初の素数である2を選ぶことが多い。）

また、対数積分を1回部分積分すると、

$\int_2^x \frac{dt}{\log t}=\frac{x}{\log x}+O\left(\frac{x}{(\log x)^2}\right)$

となる。ただし $O$ はランダウの記号である。このことから、定理を次のように述べることもできる。

$\pi(x) \sim \frac{x}{\log x}$

これは同様に $x / log x$ で近似できるということを意味する。こちらのほうが近似精度は少し悪くなるが計算上扱い易い。

上の2通りの近似は $x$ が小さくても比較的正確である。

表．近似の様子
$x$	$π(x)$	$Li(x)$	$x / log x$	$π(x) / Li(x)$	$\frac{\pi (x)}{x\,/\log x}$
10	4	5.12...	4.34...	0.78118...	0.92103...
100	25	29.08...	21.71...	0.85966...	1.1513...
1000	168	176.56...	144.76...	0.95149...	1.1605...
10000	1229	1245.09...	1085.73...	0.98708...	1.1320...
100000	9592	9628.76...	8685.89...	0.99618...	1.1043...
1000000	78498	78626.50...	72382.41...	0.99837...	1.0845...
10000000	664579	664917.35...	620420.69...	0.99949...	1.0712...
100000000	5761455	5762208.33...	5428681.02...	0.99987...	1.0613...

また

p (n)

をn番目の素数とすると

n ≥ 6に対して

$n\ \ln n + n\ln\ln n - n < p(n) < n \ln n + n \ln \ln n$

が成り立つ。(ピエール・デザルト)

[編集] 算術級数の素数定理

この定理はまた、算術級数（等差数列）中の素数に関しても拡張されており、これを算術級数の素数定理という：

すなわち、算術級数 $a n + b$ 　 $(a > 0)$ に含まれる素数で、 $x$ 以下のものの数を $π a, b (x)$ で表すとき、

$\pi_{a,b}(x) \sim \frac{1}{\phi(a)}\mathrm{Li}(x)$

が成り立つ。ここで φ(n) はオイラーの関数と呼ばれるもので、 n と互いに素な n 以下の自然数の個数を表す。この漸近公式はルジャンドルやディリクレによって予想されていたが、これもド・ラ・ヴァレー・プーサンによって証明された。近年、Ivan Soprounovにより、より初等的な証明が発見された。

[編集] 誤差評価

より詳しくは、近似の誤差は次のように評価できる。

$\pi(x) = \mathrm{Li}(x) + O\left(xe^{-\frac{1}{15}\sqrt{\log x}}\right)$

更に、1901年にヘルゲ・フォン・コッホは、もしリーマン予想が正しければ次のように誤差評価を改善できることを証明した。

$\pi(x) = \mathrm{Li}(x) + O\left(\sqrt x \log x\right)$

逆に、上記の評価式が成り立てばリーマン予想が成り立つことも知られている。また前節であげた表を見ればわかるように、その範囲内では

π(x) < Li(x)

が成り立っている。これがすべてのxで成り立つであろうと、ガウスやリーマンさえも予想していたが、これが正しくないことは1914年にリトルウッドが初めて示した。より詳しくいえば

π(x) - Li(x)

はxが大きくなるにつれて、無限に符号を変えるのである。

[編集] リーマン関数

リーマンは、リーマン関数

$R(x) = \sum_{m=1}^\infty \frac{\mu(m)}{m}\mathrm{Li}(x^\frac{1}{m})$

を用いて、 $π(x)$ に関する以下の公式を与えた。

π(x) = R(x) −	∑	R(x^ρ)
	ρ

ただし、和はゼータ関数の複素零点ρ全体をわたる。

$R (x)$ の項だけをとっても、これは $Li(x)$ よりかなり良い近似を与える。

$R (x)$ は、以下の級数を用いて計算可能である（Gram, 1893）。

$R(x) = 1 + \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n\zeta(n+1)} \cdot \frac{(\log x)^n}{n!} \right)$

[編集] 関連項目

[編集] 外部リンク

Prime Number Theorem -- From MathWorld（素数定理）（英語）

カテゴリ: 数論 | 定理 | 数学に関する記事

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