Θεώρημα πρώτων αριθμών

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Αυτό το άρθρο είναι ορφανό καθώς λίγα ή και καθόλου άρθρα συνδέουν σε αυτό.

Παρακαλούμε βοηθήστε βάζοντας συνδέσμους προς αυτό σε άρθρα για σχετικά θέματα. (Ιανουαρίου 2008)

Το θεώρημα πρώτων αριθμών περιγράφει την ασυμπτωτική κατανομή των πρώτων αριθμών.

Δηλώνει ότι αν διαλέξουμε τυχαία έναν αριθμό μικρότερο ή ίσο του $\,x$ η πιθανότητα αυτός να είναι πρώτος είναι περίπου $\,1/\ln x$

[Επεξεργασία] Θεώρημα

Έστω η συνάρτηση πρώτων αριθμών $\,\pi(x)$ που δηλώνει τον αριθμό των πρώτων αριθμών μικρότερων ή ίσων του $x, x\in\R_+$ :

$\pi(x)=\sum_{p\leq x}1.$

Ισχύει:

$\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x},$

που σημαίνει ότι η $\,\pi(x)$ και η $\frac{x}{\ln x}$ έχουν ασυμπτωτικά την ίδια συμπεριφορά ή αλλιώς $\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{{x}/{\ln x}}=1$ .

[Επεξεργασία] Ακριβέστερη προσέγγιση

Σύγκριση των π(x) (μπλε), x / ln x (πράσινο) και Li(x) (κόκκινο)

Έστω το λογαριθμικό ολοκλήρωμα (logarithmic integral):

$Li(x)=\int_2^x\frac{dt}{\log t},$

που μπορεί να γραφεί και ως:

$Li(x)=\frac{x}{\ln x}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k!}{(\ln x)^k}=\frac{x}{\ln x}+\frac{x}{(\ln x)^2}+\frac{2x}{(\ln x)^3}+\cdots.$

Σύμφωνα to θεώρημα πρώτων αριθμών ισχύει $\,\pi(x)\sim Li(x)$ . Πιο συγκεκριμένα ισχύει:

$\pi(x)=Li(x)+O(xe^{-c\sqrt{\ln x}}),$

όπου ο όρος λάθους είναι μικρότερος απο αυτόν που δίνει το θεώρημα πρώτων αριθμών. Η σχέση

$\pi(x)=Li(x)+O(\sqrt{x}\ln x),$

που δηλώνει καλύτερη προσέγγιση από την προαναφερθείσα, είναι ισοδύναμη της υπόθεσης του Riemann.

Αυτό το άρθρο μαθηματικών χρειάζεται επέκταση. Βοηθήστε τη Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το!

Κατηγορίες: Ορφανά άρθρα | Μαθηματικά-επέκταση | Θεωρία αριθμών

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Θεώρημα πρώτων αριθμών

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

[Επεξεργασία] Θεώρημα

[Επεξεργασία] Ακριβέστερη προσέγγιση

Views

Πλοήγηση

συμμετοχή

Αναζήτηση

Άλλες γλώσσες