Teoria di gauge

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Algebra di Lie
Algebra tensoriale
Analisi complessa
Numero complesso
Teorema di Noether

Le teorie di gauge (teorie di scala) sono una classe di teorie fisiche di campo basate sull'idea che alcune trasformazioni che lasciano invariata la lagrangiana del sistema (simmetrie) siano possibili anche localmente e non solo globalmente.

Esistono particolari simmetrie globali, che non dipendono dal punto, che sono ancora simmetrie se agiscono localmente, ossia in punto qualsiasi del sistema, a patto che le azioni da un punto all'altro siano indipendenti (secondo le teorie di Yang - Mills).

La maggior parte delle teorie della fisica sono descritte da lagrangiane che sono invarianti sotto certe trasformazioni del sistema di coordinate che sono eseguite identicamente in ogni punto dello spaziotempo (si dice quindi che presentano simmetrie globali). Il concetto alla base delle teorie di gauge è di postulare che le lagrangiane debbano possedere anche simmetrie locali, cioè che debba essere possibile effettuare queste trasformazioni di simmetria solo in una particolare e limitata regione dello spaziotempo senza interessare il resto dell'universo. Questo requisito può essere visto, in senso filosofico, come una versione generalizzata del principio di equivalenza della relatività generale.

L'importanza per la fisica delle teorie di gauge nasce dall'enorme successo di questo formalismo matematico nel descrivere, in un solo quadro teorico unificato, le teorie di campo quantistico dell'elettromagnetismo, dell'interazione nucleare debole e dell'interazione nucleare forte. Questo quadro teorico, noto come Modello Standard, descrive accuratamente i risultati sperimentali di tre delle quattro forze fondamentali della natura, ed è una teoria di gauge con gruppo di gauge SU(3) × SU(2) × U(1).

Altre teorie moderne, come la teoria delle stringhe e certe formulazioni della teoria della relatività generale, sono in un modo o nell'altro, teorie di gauge.

[modifica] Storia delle teorie di gauge

La prima teoria fisica che presentava una simmetria di gauge fu la teoria elettrodinamica di Maxwell; tuttavia l'importanza di questa simmetria delle equazioni di Maxwell non fu messa in rilievo nelle prime formulazioni. Dopo lo sviluppo di Einstein della relatività generale, Hermann Weyl, in un tentativo di unificare questa teoria all'elettromagnetismo, ipotizzò che la Eichinvarianz, o invarianza al variare della scala di misura (appunto gauge in inglese) poteva essere anche una simmetria locale della teoria della relatività generale: purtroppo gli sviluppi di questa congettura hanno portato a risultati fisicamente inaccettabili. Tuttavia dopo l'avvento della meccanica quantistica, Weyl, Fock e London scoprirono che quella stessa idea, sviluppata alla luce dei nuovi concetti (cambiare il fattore di scala con una quantità complessa e sostituire la trasformazione di scala con una trasformazione di fase, cioè una simmetria di gauge U(1)) spiegava elegantemente l'effetto di un campo elettromagnetico sulla funzione d'onda di una particella quantistica elettricamente carica. Questa fu la prima teoria di gauge della storia.

Durante gli anni cinquanta, tentando di mettere ordine nel gran caos di fenomeni ancora non spiegati della fisica delle particelle elementari, Chen Ning Yang e Robert Mills introdussero teorie di gauge non-abeliane come modelli per comprendere l'interazione forte che tiene insieme i nucleoni nei nuclei degli atomi. Generalizzando l'invarianza di gauge dell'elettromagnetismo, essi cercarono di costruire una teoria basata sull'azione del gruppo di simmetria non-abeliano SU(2) sul doppietto di isospin formato da protoni e neutroni che fosse simile alla teoria di Weyl, Fock e London sull'azione del gruppo U(1) sui campi spinoriali dell'elettrodinamica quantistica. Questa idea trovò applicazione, più tardi, nella teoria di campo dell'interazione debole e la unificazione di tale teoria con l'elettromagnetismo nella teoria elettrodebole.

L'interesse per le teorie di gauge divenne anche maggiore quando venne dimostrato che le loro versioni non-abeliane possedevano una proprietà detta libertà asintotica, che si supponeva essere una caratteristica fondamentale dell'interazione forte. Questo fatto diede l'avvio alle ricerche di una teoria di gauge per quest'ultima interazione, che una volta scoperta fu battezzata cromodinamica quantistica: questa è una teoria di gauge per l'azione del gruppo SU(3) sulle terne di colore dei quark. Il Modello Standard unifica le descrizioni dell'elettromagnetismo, delle interazioni deboli e delle interazioni forti nel formalismo delle teorie di gauge.

Nel 1983, Simon Donaldson usò strumenti sviluppati nella teoria di gauge (gli istantoni) per dimostrare che la classificazione differenziabile delle varietà quadrimensionali lisce è molto diversa dalla loro classificazione a meno di omeomorfismi e mostra strutture differenziabili esotiche in uno spazio euclideo a quattro dimensioni. Questo ha portato i matematici ad interessarsi per loro conto alle teorie di gauge, indipendentemente dal loro successo in fisica teorica. Nel 1994, Edward Witten e Nathan Seiberg hanno messo a punto alcune tecniche per le teorie di gauge basate sulla supersimmetria, che ha permesso il calcolo di alcuni invarianti topologici: questi contributi alla matematica provenienti dalle teorie di gauge hanno portato ad un rinnovato interesse per gli studi in quest'area.

[modifica] Teoria di gauge classica

Questa sezione richiede una buona conoscenza della teoria quantistica dei campi o della teoria di campo classica, e delle lagrangiane.

Definizioni date in questa sezione: gruppo di gauge, campo di gauge, lagrangiana di interazione, bosone di gauge

[modifica] Un esempio generico: teoria di gauge scalare O(n)

Quanto segue mostra come l'invarianza di gauge locale viene postulata a partire da proprietà di simmetria globale, e come questo porta ad una interazione fra campi che in origine non interagiscono.

Prendiamo un insieme di n campi scalari non interagenti, con masse m uguali. Questo sistema è descritto da una azione pari alla somma delle normali azioni per i diversi campi scalari $φ i$ ;

$\mathcal{S} = \int \, d^n x \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} \partial_\mu \phi_i \partial^\mu \phi_i - \frac{1}{2}m^2 \phi_i^2~.$

Introduciamo per concisione un vettore di campi

$\ \Phi = ( \phi_1, \phi_2,\ldots, \phi_n)$

Ora la lagrangiana si può riscrivere così:

$\ L = \frac{1}{2} (\partial_\mu \Phi)^T \partial^\mu \Phi - \frac{1}{2}m^2 \Phi^T \Phi ~.$

Ora è evidente che, quando G è una matrice costante che appartiene al gruppo ortogonale n-dimensionale O(n), la lagrangiana è invariante sotto la trasformazione

$\Phi \mapsto G \Phi ~.$

Questa è la simmetria globale di questa particolare lagrangiana, e il gruppo di simmetria è chiamato spesso il gruppo di gauge. Si noti per inciso che il teorema di Nöther implica che l'invarianza rispetto questo particolare gruppo di trasformazioni porti alla conservazione della corrente

$\ J^{a}_{\mu i} = \sum_j T^{a}_{ij} \partial_\mu \phi_j ~,$

dove le matrici T^a sono i generatori del gruppo O(n). C'è una corrente conservata per ogni generatore.

Ora, postuliamo che questa lagrangiana debba avere una invarianza O(n) locale: questo implica che le matrici G, che in precedenza avevamo visto essere costanti) dovrebbero poter diventare funzioni delle coordinate spaziotemporali x.

Purtroppo le matrici G non "passano attraverso la derivazione": quando G = G(x),

$\ \partial_\mu (G \Phi)^T \partial^\mu G \Phi \neq \partial_\mu \Phi^T \partial^\mu \Phi ~.$

Questo suggerisce di definire una derivata D tale che

$\ D_\mu (G(x) \Phi(x)) = G(x) \partial_\mu \Phi ~.$

Si può facilmente verificare che una derivata con questa proprietà (detta derivata covariante) è

$\ D_\mu = \partial_\mu - (\partial_\mu G(x)) G^{-1}(x) = \partial_\mu + g A_\mu(x) ~,$

dove il campo di gauge A(x) è definito come

$\ A_{\mu}(x) := \frac{1}{g} G(x) \partial_\mu G^{-1}(x) = \sum_a A_{\mu}^a (x) T^a$

e g è noto come la carica, una costante di accoppiamento che definisce la forza di una interazione.

A questo punto abbiamo individuato una lagrangiana localmente gauge-invariante

$\ L_{loc} = \frac{1}{2} (D_\mu \Phi)^T D^\mu \Phi -\frac{1}{2}m^2 \Phi^T \Phi ~.$

La differenza fra questa e la lagrangiana originale, che invece era globalmente gauge-invariante, viene chiamata lagrangiana di interazione:

$\ L_{int} = \frac{g}{2} g ( \Phi^T A_{\mu}^T \partial^\mu \Phi + (\partial_\mu \Phi)^T A^{\mu} \Phi ) + \frac{g^2}{2} (A_\mu \Phi)^T A^\mu \Phi ) ~.$

Questo termine introduce interazioni fra gli n campi scalari come risultato dell'imposizione dell'invarianza di gauge locale. Nella versione quantizzata di questa teoria di campo classica, i quanti del campo di gauge A(x) sono chiamati bosoni di gauge. L'interpretazione della lagrangiana di interazione nella teoria di campo quantistica concerne bosoni scalari che interagiscono scambiandosi i bosoni di gauge.

[modifica] La lagrangiana per il campo di gauge

Il nostro quadro della teoria di gauge classica è quasi completo: manca solo di conoscere il valore del campo di gauge A(x) in ogni punto dello spazio-tempo, come richiesto dalla definizione delle derivate covarianti D. Invece di specificare il valore del campo in ogni punto manualmente, cioè assegnando valori in tutti i punti, possiamo esprimerlo come la soluzione di una equazione di campo: ponendo inoltre l'ulteriore requisito che anche la lagrangiana che genera l'equazione di campo sia localmente gauge-invariante, la forma più generale della lagrangiana per il campo di gauge si può scrivere convenzionalmente come:

$\ L_{gf} = - \frac{1}{4g^2} Tr(F^{\mu \nu} F_{\mu \nu})$

con

$\ F_{\mu \nu} := [D_\mu, D_\nu]$

e prendendo la traccia sullo spazio vettoriale degli n campi.

A questo punto la lagrangiana completa per la teoria di gauge O(n) si può scrivere

$\ L = L_{loc} + L_{gf} = L_{global} + L_{int} + L_{gf} ~.$

[modifica] Un esempio semplice: l'elettrodinamica

Come applicazione semplice del formalismo che abbiamo sviluppato finora, consideriamo il caso dell'elettrodinamica, con il solo campo dell'elettrone. In definitiva, l'azione che genera l'equazione di Dirac del campo dell'elettrone è, per convenzione:

$\mathcal{S} = \int d^4x\, \bar\psi(i \gamma_\mu \partial^\mu - m) \psi ~.$

La simmetria globale di questo sistema è

$\ \psi \mapsto e^{i \theta} \psi~.$

Qui il gruppo di gauge è U(1), cioè il gruppo ad un solo parametro corrispondente al solo angolo di fase del campo, con θ costante nello spazio.

Localizzare questa simmetria implica la sostituzione della costante θ con θ(x).

Una derivata covariante appropriata è allora

$\ D_\mu := \partial_\mu + i e A_\mu ~.$

Identificando la carica e con l'usuale carica elettrica (questa è l'origine dell'uso del termine carica nelle teorie di gauge), e il campo di gauge A(x) con il potenziale quadrivettore del campo elettromagnetico, si ottiene una lagrangiana di interazione

$\ L_{int} := \bar\psi(x) \gamma_\mu \psi(x) A^{\mu}(x) = J_{\mu}(x) A^{\mu}(x) ~,$

dove J^μ(x) è l'usuale quadrivettore densità di corrente elettrica. Quindi il principio di gauge ha l'effetto di introdurre in modo naturale il cosiddetto accoppiamento minimo del campo elettromagnetico con il campo dell'elettrone.

Aggiungendo una lagrangiana per il campo di gauge A(x) costruita con il tensore di forza del campo, esattamente come nell'elettrodinamica, si ottiene la lagrangiana che si usa come punto di partenza nell'elettrodinamica quantistica.

$\ L = \bar\psi(i\gamma_\mu D^\mu - m)\psi - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}~.$

Vedi anche: Equazione di Dirac, Equazioni di Maxwell, Elettrodinamica quantistica

[modifica] Il formalismo matematico

Matematicamente, un gauge è un certo grado di libertà all'interno di una teoria i cui effetti esterni non sono osservabili. Una trasformazione di gauge è quindi una trasformazione di questo grado di libertà che non modifica nessuna proprietà fisica osservabile. Le teorie di gauge sono di solito elaborate e discusse con gli strumenti matematici della geometria differenziale. Più precisamente, una scelta di gauge è la scelta di una sezione (locale) di un certo fibrato principale. Una trasformazione di gauge è una trasformazione tra due diverse sezioni.

Preso un fibrato principale P il cui spazio base è lo spazio tridimensionale o lo spaziotempo e il suo gruppo strutturale è un gruppo di Lie, allora è definita un'azione del gruppo di gauge sullo spazio delle sezioni lisce di P.

È possibile definire una connessione (connessione di gauge) sul fibrato principale, ottenendo una 1-forma A con valori su un'algebra di Lie, che in fisica è detta potenziale di gauge. Con questa 1-forma possiamo costruire una 2-forma F, chiamata forza di campo, con

$\bold{F}=d\bold{A}+\bold{A}\wedge\bold{A}~,$

dove d sta per la derivata esterna e $\wedge$ sta per il prodotto esterno.

Le trasformazioni di gauge infinitesimali formano un'algebra di Lie che è caratterizzata da uno scalare continuo ε a valori compresi in una algebra di Lie. Sotto queste trasformazioni di gauge infinitesimali,

$\delta_\epsilon \bold{A}:=[\epsilon,\bold{A}]-d\epsilon~,$

dove $[.,.]$ denota il prodotto di Lie.

Un fatto pregevole consiste nel fatto che $δ ε X = ε X$ implichi che $δ ε D X = ε D X$ , dove D è la derivata covariante

$DX := dX+\bold{A}X~.$

Inoltre $\delta_\epsilon \bold{F}=\epsilon \bold{F}$ , e questo significa che F si trasforma in modo covariante.

Occorre fare attenzione che, in generale, non tutte le trasformazioni di gauge possono essere generate da trasformazioni di gauge infinitesimali: per esempio quando la varietà base è una varietà compatta senza frontiera tale che la classe di omotopia delle applicazioni di quella varietà sul gruppo di Lie è non banale. Vedi, per esempio, gli istantoni.

L'azione di Yang-Mills è data ora da

$\frac{1}{4g^2}\int Tr[*F\wedge F] ~,$

dove * sta per il duale di Hodge e l'integrale è definito come nella geometria differenziale.

Una quantità gauge-invariante, cioè invariante sotto le trasformazioni di gauge, è il cappio di Wilson, che è definito su un qualunque cammino chiuso γ in questo modo:

$\chi^{(\rho)}(\mathcal{P}\{e^{\int_\gamma A}\})$

dove χ è il carattere di una rappresentazione complessa ρ e $\mathcal{P}$ rappresenta l'operatore di cammino ordinato.

[modifica] Bibliografia

George Svetlichny, Preparation for Gauge Theory, una introduzione agli aspetti matematici
David Gross, Gauge theory - Past, Present and Future, note da una conferenza
Cheng, T., Li, L., Gauge Theory of Elementary Particle Physics, Oxford University Press, 1983, ISBN 0198519613
P. Cotta-Ramusino, Geometria differenziale e teorie di gauge, note per il corso di Fisica Matematica I

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Categoria: Teoria di campo

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Indice

[modifica] Storia delle teorie di gauge

[modifica] Teoria di gauge classica

[modifica] Un esempio generico: teoria di gauge scalare O(n)

[modifica] La lagrangiana per il campo di gauge

[modifica] Un esempio semplice: l'elettrodinamica

[modifica] Il formalismo matematico

[modifica] Bibliografia

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