Azione di gruppo

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In algebra, l'azione di gruppo è una mappa che permette di mettere in relazione gli elementi di un gruppo con quelli di un altro insieme. È così possibile ottenere una corrispondenza tra le proprietà del gruppo e quelle dell'insieme (che può, a seconda dei casi, essere dotato di altre strutture algebriche).

Indice

1 Definizione
2 Orbite
- 2.1 Numero di orbite
3 Stabilizzatore
4 Azioni sinistre e destre
5 Definizioni ulteriori
6 Esempi
7 Spazio topologico
- 7.1 Azioni e rivestimenti
- 7.2 Esempi
8 Voci correlate

[modifica] Definizione

Siano $G$ un gruppo ed $A$ un insieme. Si dice azione di gruppo una funzione

$G \times A \longrightarrow A$

$(g,a) \mapsto g \cdot a,$

dove $\cdot$ è definita in modo tale da verificare le due seguenti condizioni:

$1_{G} \cdot a=a \ \ \ \forall a \in A;$
$g \cdot (h \cdot a)=(gh) \cdot a \ \ \forall g,h \in G, \ a \in A.$

[modifica] Orbite

Data la relazione di equivalenza $\sim$ su $A$

$x,y \in A, \ x \ \sim \ y \ \ {\rm se }\ \exists g \in G \ \ {\rm t.c.} \ \ y=g \cdot x$

le classi di equivalenza così definite si dicono orbite. Le orbite formano una partizione di $A$ . L'orbita contenente l'elemento $x$ è data da

$O(x) = \{ g \cdot x | g \in G \}.$

Nel caso di un'azione di coniugio, le orbite prendono il nome di classi di coniugio.

[modifica] Numero di orbite

Se il gruppo finito G agisce sull'insieme finito X, per il lemma di Burnside il numero di orbite di tale azione è pari a

$\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |\mbox{fix}(g)|$

dove

$\mbox{fix}(g) = \{ s \in X: g.s = s \}$

è l'insieme degli elementi di X che sono lasciati fissi dall'elemento g di G.

[modifica] Stabilizzatore

Dato un punto $x$ in $A$ , si definisce stabilizzatore di $x$ il sottogruppo di $G$ formato dagli elementi che fissano $x$ :

$H_{x}=\{g \in G \ |\ \ g \cdot x = x\}.$

Lo stabilizzatore è un sottogruppo di G.

Per un gruppo finito, l'orbita $O x$ di un elemento $x$ conta tanti elementi quanti l'indice dello stabilizzatore $H x$ in $G$ . Vale allora la seguente formula per il calcolo dell'ordine di $G$ :

$|G| = |O_x| \cdot |H_x|.$

Una biiezione esplicita fra le classi laterali

$M = \{gH_x\}_{x \in X, g \in G}$

e l'orbita $O (x)$ è data da

$O(x) \rightarrow M,\,\!$

$g\cdot x \mapsto gH_x.$

[modifica] Azioni sinistre e destre

L'azione definita viene detta più propriamente azione a sinistra. Si può definire in maniera analoga una azione a destra $A \times G \rightarrow A$ di $G$ su $A$ , per la quale valgono risultati analoghi a quelli dell'azione a sinistra.

[modifica] Definizioni ulteriori

Un'azione è fedele se ogni elemento di $G$ sposta almeno un punto di $A$ :

$\forall g \in G, g\neq e,\, \exists x\in A :\, g \cdot x \neq x.$

Un'azione è libera se gli stabilizzatori sono tutti banali:

$\forall g\in G, g\neq e, \forall x\in A: \, g\cdot x \neq x.$

Un'azione è transitiva se esiste un'unica orbita:

$\forall x,y \in A, \,\exists g \in G :\, y=g \cdot x.$

Un punto fisso è un elemento $x$ in $A$ che è lasciato invariato da tutti gli elementi di $G$ , ovvero la sua orbita si riduce al solo elemento ${x}$ :

$g \cdot x = x ,\, \forall g \in G.$

[modifica] Esempi

Ogni gruppo agisce su se stesso, tramite traslazione:

$G \times G \rightarrow G,\,\!$

$(g, x) \mapsto g\cdot x.$

[modifica] Spazio topologico

Se $A$ è uno spazio topologico, lo spazio $X$ delle orbite è dotato della topologia quoziente, e la proiezione

$p:A\to X\,\!$

è una funzione continua.

[modifica] Azioni e rivestimenti

Un caso molto studiato in topologia è quello in cui la mappa $p$ è un rivestimento. Affinché questo accada, sono necessarie alcune ipotesi sull'azione.

L'azione è detta propriamente discontinua se per ogni coppia di sottoinsiemi compatti $H$ e $K$ di $A$ l'intersezione

$gH\cap K\,\!$

è non vuota solo per un numero finito di elementi $g$ del gruppo $G$ .

Se $A$ è uno spazio di Hausdorff localmente compatto, le condizioni seguenti sono equivalenti.

$G$ agisce in modo libero e propriamente discontinuo.
$X$ è di Hausdorff e ogni $x$ in $A$ ha un intorno aperto $U$ tale che

$gU\cap U =\emptyset$

per ogni $g$ in $G$ .
$X$ è di Hausdorff e la proiezione $p:A\to X$ è un rivestimento.

[modifica] Esempi

Il gruppo $\mathbb Z/_{2\mathbb Z} = \{0,1\}$ agisce sulla sfera $S n$ : si associa all'elemento "1" la mappa antipodale. L'azione è libera e propriamente discontinua. Lo spazio quoziente è lo spazio proiettivo reale $\mathbb R\mathbb P^3$ .