Sfera

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La sfera (dal greco σφαῖρα, sphaîra) è un oggetto geometrico rotondo e perfettamente simmetrico. In matematica, la sfera è generalmente il bordo di una palla, ed è l'unione di tutti i punti che sono ad una distanza fissata r, detta raggio della sfera, da un punto O detto centro della sfera.

Indice

1 Rappresentazione analitica
2 Cenni storici
3 Area e volume
4 Terminologia
5 Generalizzazioni ad altre dimensioni
6 Generalizzazioni in spazi metrici
7 Formule
- 7.1 Calcolo del volume della sfera con l'aiuto degli integrali
8 Curiosità
9 Voci correlate

[modifica] Rappresentazione analitica

In geometria cartesiana, una sfera di centro (x₀, y₀, z₀) e di raggio r è rappresentata dall'insieme di punti (x, y, z) tali che

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = r 2

I punti della sfera possono essere parametrizzati in coordinate sferiche nel modo seguente:

$\left\{ \begin{matrix} x & = & x_0 + r \sin\theta \cos\phi \\ y & = & y_0 + r \sin\theta \sin\phi\\ z & = & z_0 + r \cos\theta \end{matrix} \right.$

dove $θ$ e $φ$ rappresentano la latitudine e la longitudine del punto, variando negli intervalli

$0 \leq \theta \leq \pi, \quad -\pi \leq \phi < \pi.$

Ogni punto della sfera è descritto da una sola coppia $(θ,φ)$ di questo tipo, tranne i poli: la coppia $(0,φ)$ descrive sempre il polo nord, e $(π,φ)$ sempre il polo sud (per qualsiasi valore di $φ$ ).

Alternativamente si può utilizzare l'equazione cartesiana della sfera:

$\left\{ \begin{matrix} x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz + d = 0 \end{matrix} \right.$

con a,b,c,d, numeri reali tali che a²+b²+c²-4d >0

[modifica] Cenni storici

Nel V secolo a.C. questo solido veniva letteralmente venerato dalla scuola pitagorica che ne osservava la caratteristica di avere tutti i punti equidistanti dal centro trovando in essa il significato materiale di armonia.

[modifica] Area e volume

L'area della superficie sferica di raggio $r$ è data dall'equazione:

A = 4π r 2

mentre il volume racchiuso dalla sfera di raggio $r$ è dato dall'equazione (integrale in dr della superficie):

$V = \frac{4}{3}\pi r^{3}$

La dimostrazione di questi fatti può essere ottenuta in modo elementare usando il metodo degli indivisibili oppure con gli strumenti nell'analisi matematica.

La sfera è la figura tridimensionale con il minimo rapporto superficie/volume: ciò spiega perché a tale forma tendono molti oggetti fisici, dalle gocce di liquido ai corpi celesti. Ad esempio, le bolle sono sferiche perché la tensione superficiale tende a minimizzare l'area a parità di volume. Il cilindro circoscritto ha un volume che è 3/2 volte quello della sfera, ed una superficie laterale che è la stessa di quella della sfera. Questo fatto, e le formule scritte sopra, erano già noti ad Archimede.

Con l'aumentare del raggio, il volume della sfera cresce più della superficie. Infatti il rapporto fra queste due quantità è r/3.

Una sfera può anche essere definita come formata da una circonferenza che ruota intorno al suo diametro. Se si usa una ellisse, si ottiene un ellissoide di rotazione.

[modifica] Terminologia

Due punti della sfera che stanno sulla stessa retta passante per l'origine sono detti antipodali, e una tale retta è detta asse, poiché è un'asse di simmetria della sfera.

Un cerchio massimo è una circonferenza avente lo stesso centro della sfera, ottenuta quindi intersecando la sfera con un piano passante per l'origine.

Se un punto della sfera è identificato come polo nord, il suo antipodale è il polo sud e l'equatore è il cerchio massimo equidistante dai due poli. I cerchi massimi passanti per i poli sono i meridiani, mentre la linea retta passante per l'origine ed i due poli è l'asse. Questa terminologia è usata anche per i corpi celesti come la terra, anche se non perfettamente sferici.

[modifica] Generalizzazioni ad altre dimensioni

La sfera può essere generalizzata in altre dimensioni. Per ogni numero naturale n, una sfera n-dimensionale è l'insieme dei punti nello spazio euclideo (n+1)-dimensionale Rⁿ che hanno una distanza fissata r>0 da un certo punto dello spazio.

una sfera 0-dimensionale è fatta di una coppia di punti {-r, r} in R
una sfera 1-dimensionale è una circonferenza di raggio r nel piano
una sfera 2-dimensionale è la sfera ordinaria
una sfera 3-dimensionale è una sfera nello spazio Euclideo 4-dimensionale.

Le sfere di dimensione > 2 sono chiamate anche ipersfere. La sfera n-dimensionale di raggio unitario, centrata nell'origine, viene indicata con Sⁿ.

[modifica] Generalizzazioni in spazi metrici

Più in generale, in uno spazio metrico (E,d), la sfera di centro x e raggio r>0 è l'insieme

S(x;r) = { y ∈ E | d(x,y) = r } .

Una sfera in uno spazio metrico può essere un oggetto molto diverso dalla sfera usuale. Ad esempio, può essere vuota: se consideriamo Zⁿ con la metrica euclidea, una sfera di raggio r è vuota se e solo se r² non può essere scritto come somma di n quadrati!

[modifica] Formule

Formule della Sfera
Circonferenza	$U \, = \, 2 \pi r { \color{OliveGreen} \ = \frac{\mathrm dA_\mathrm{PF}}{\mathrm dr} }$
Superficie	$A_O \, = \, 4 \pi r^2 \, { \color{OliveGreen} \ = \frac{\mathrm dV}{\mathrm dr} }$
Volume	$V \, = \, \frac{4}{3} \pi r^3 = \int_0^r A_O \mathrm dr$
Area	$A_\mathrm{PF} \, = \, \pi r^2 = \int_0^r U \mathrm dr$
Volume di un segmento di sfera	$V_\mathrm{KS} \, = \, \frac{h^2 \pi}{3} (3r - h)$
Area di una calotta sferica	$A_\mathrm{KK} \, = \, 2 r h \pi = 2 r^2 \pi \left(1-\cos\frac{\alpha}{2}\right)$
Raggio della sfera	$r \,$
Altezza (segmento di sfera/calotta)	$h \,$
Momento d'inerzia	$J \, = \, \frac{2}{5} mr^2$
Steradiante	$\alpha \,$

[modifica] Calcolo del volume della sfera con l'aiuto degli integrali

Raggio alla distanza x

$s =\sqrt{r^2 - x^2}$

Area alla distanza x

A x = s 2 π

Volume della sfera $V$

$V = \int_{-r}^r {A_x dx} = \int_{-r}^r {s^2 \pi dx} = \int_{-r}^r {\left( {r^2 - x^2 } \right)} \pi dx = \int_{-r}^r {r^2 } \pi dx - \int_{-r}^r {x^2 } \pi dx$

$V = r^2 \pi \left[ x \right]_{-r}^r - {1 \over 3}\pi \left[ {x^3 } \right]_{-r}^r$

$V = r^2 \pi \left[ r - (-r)\right]-{1 \over 3}\pi \left[r^3-(-r)^3\right] = 2\pi r^3 - {2 \over 3}\pi r^3 = {4 \over 3}\pi r^3$

Allo stesso modo si può calcolare il volume $V KS$ di un segmento di sfera di altezza $h$

$V_\mathrm{KS} = \int_{r-h}^r {A_x dx} = r^2 \pi \left[ x \right]_{r-h}^r - {1 \over 3}\pi \left[ {x^3 } \right]_{r-h}^r$

$V_\mathrm{KS} = r^2 \pi \left[ r - (r-h)\right]-{1 \over 3}\pi \left[r^3-(r-h)^3\right] = \pi r^2 h - \frac{1}{3}\pi \left[r^3 - (r^3 - 3r^2 h + 3r h^2 - h^3) \right]$

$V_\mathrm{KS} = \pi r^2 h - \pi r^2 h + \pi r h^2 - {1 \over 3}\pi h^3 = {\pi h^2 \over 3} (3r-h)$

[modifica] Curiosità

Per quanto si sia avvicinato, l'uomo non è ancora riuscito a produrre alcun oggetto dalla sfericità matematicamente perfetta. Finora i migliori risultati sono stati ottenuti dalla NASA, in occasione della costruzione di due sfere da impiegare per un satellite artificiale.