Curva di Peano

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Una curva di Peano è una curva che "ricopre" interamente in quadrato. L'esistenza di queste curve è stata scoperta da Giuseppe Peano nel 1890.

Indice

1 Limite di curve
2 Costruzione esplicita
3 Proprietà
4 Voci correlate

[modifica] Limite di curve

Una curva di Peano è una curva parametrizzata da una funzione continua dall'intervallo [0, 1] al quadrato Q.

Intuitivamente, siamo abituati a pensare ad una curva piana come ad un oggetto "filiforme" nel piano. La curva di Peano mostra che tale intuizione è in generale sbagliata: infatti questa curva "si muove così tanto" dentro al quadrato da ricoprirlo interamente! In altre parole, la funzione f che la definisce è suriettiva.

Sei iterazioni della costruzione della curva di Hilbert, un esempio di curva di Peano costruita da David Hilbert

Una curva di Peano è costruita generalmente come limite di una successione di curve. L'esempio qui a destra, costruito dal matematico David Hilbert, mostra i primi sei passi di questa costruzione: la curva di Peano è la curva che si ottiene all' "infinitesimo passo". Si può dimostrare che una tale "curva limite" esiste come funzione, è effettivamente continua e ricopre l'intero quadrato.

Con questi esempi si possono costruire facilmente curve che riempiono spazi ancora più grossi, come ad esempio il cubo, oppure curve definite sull'intervallo aperto (0, 1) che riempiono interamente un qualsiasi spazio euclideo di dimensione arbitraria.

[modifica] Costruzione esplicita

Una costruzione esplicita della curva di Peano utilizza un sottoinsieme molto particolare dell'intervallo [0, 1]: l'insieme di Cantor C. Questo insieme ha molte proprietà sorprendenti, tra i quali la seguente: C e C x C sono omeomorfi. Quindi esiste una funzione g: C → Q = [0, 1] x [0, 1] la cui immagine è il sottoinsieme C x C del quadrato.

Esiste una funzione f:C → [0, 1] continua e suriettiva, detta funzione di Cantor. Quindi la mappa F(x,y) = (f(x), f(y)) è suriettiva da C x C sul quadrato. La sua composizione con la g di sopra è una funzione suriettiva da C sul quadrato. Infine, questa si estende ad una funzione continua dall'intervallo [0, 1] sul quadrato: infatti il complementare di C in [0, 1] è fatto di tanti intervalli aperti, e la funzione può essere estesa linearmente su ciascuno di questi (mandando ogni intervallo U nel segmento del quadrato avente come estremi le immagini degli estremi di U).