Funzione di Cantor
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In matematica, la funzione di Cantor è un esempio di funzione continua e crescente nonostante abbia derivata zero in quasi tutti i punti. Intuitivamente, è una scala con infiniti gradini, tutti di altezza zero, ma che ha comunque una pendenza media di 45 gradi.
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[modifica] Definizione
[modifica] Con le basi
La funzione di Cantor f:[0, 1] → [0, 1] è definita nel modo seguente:
- Scriviamo ogni numero x in [0, 1] in base tre. Con questa notazione, 1/3 si scrive come 0.13 e 2/3 si scrive come 0.23. Notiamo che i numeri razionali possono avere due scritture diverse, ad esempio 1/3 si scrive anche come 0.0222...3 (questo fatto è vero anche in base 10: infatti 0.1 si scrive anche come 0.09999...). Scegliamo, quando è possibile, una notazione che non contiene la cifra "1".
- Sostituiamo la prima occorrenza della cifra "1" con un "2" e tutte le successive con "0".
- Sostituiamo tutte le cifre "2" con "1".
- Interpretiamo il risultato come un numero binario. Questo risultato è f(x).
Ad esempio:
- 1/4 = 0.02020202...3 diventa 0.01010101...2 = 1/3. Quindi f(1/4)=(1/3).
- 1/5 = 0.01210121...3, al passo 2 diventa 0.02000000..., quindi 0.01000000...2 = 1/4. Quindi f(1/5)=1/4.
[modifica] Come limite di una successione
La funzione si può anche definire come limite di una successione di funzioni definite in [0,1], costruite in questo modo:
- Sia f0(x) = x;
- Sia fn(x) una funzione crescente il cui grafico è la poligonale suggerita in figura a lato, avente 2n + 1 − 1 lati: 2n lati sono obliqui di coefficiente angolare (3/2)n e 2n-1 lati sono orizzontali, ciascuno di lunghezza (1/3)n. Per ogni n∈N risulta fn(0)=0, fn(1)=1. In figura sono disegnate f0, f1 e f2.
Si può "costruire" la n+1-esima poligonale fn+1 come una trasformazione della fn: infatti, detti Ik(n), k=1,...,2n e Jk(n), k=1,...,2n-1 le proiezioni sull'asse delle ascisse dei lati obliqui e di quelli orizzontali rispettivamente (notare che è f(Jk(n)) = {k/2n}), allora è fn+1 = fn in Jk(n) per ogni k, mentre ogni lato obliquo di fn (che ha come proiezione sull’asse delle ascisse l’intervallo Ik(n)) viene modificato in tre lati, di cui due obliqui in corrispondenza agli intervalli I2k-1(n+1) e I2k(n+1), e uno orizzontale in corrispondenza all’intervallo J2k-1(n+1).
Si può provare che risulta:
![\sup_{p \in \mathbb{N}\ }\big\{\max_{x \in [0,1]} \{f_{n}(x)-f_{n+p}(x)\}\big\} \le \ \frac{1}{3 \cdot 2^{n}}](../../../../math/c/0/f/c0f81f6404c64257924e753206b487f6.png)
.
Da quest'ultimo risultato ne viene che tale successione è di Cauchy nello spazio delle funzioni continue in [0,1]. Dunque per n→∞ converge uniformemente ad una funzione limite, che è detta funzione di Cantor.
[modifica] Proprietà
La funzione di Cantor è una funzione continua, crescente e suriettiva dall'intervallo [0, 1] in sé. Non è assolutamente continua. Non è derivabile in nessun punto dell'insieme di Cantor, mentre negli altri punti è derivabile ed ha derivata zero. Quindi è una funzione costante al di fuori dell'insieme di Cantor, che ha misura nulla: nonostante questo, è crescente.
La funzione di Cantor, ristretta all'insieme di Cantor, è sempre continua, crescente e suriettiva sull'intervallo [0, 1]: questo implica che l'insieme di Cantor non è numerabile. Questa funzione è utile per definire una curva di Peano, cioè una curva che riempie totalmente un quadrato.
[modifica] Voci correlate
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