Continuità assoluta

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In matematica, il concetto di continuità assoluta si applica a due concetti distinti.

[modifica] Continuità assoluta delle funzioni reali

In matematica, una funzione a valori reali di una variabile reale si dice assolutamente continua se per ogni numero positivo ε, per quanto piccolo, esiste un numero positivo δ(ε) (sufficientemente piccolo) tale che per ogni sequenza di intervalli [x_k, y_k], k = 1, ..., n che verifica

allora

.

Ogni funzione assolutamente continua risulta uniformemente continua e, di conseguenza, continua.

Ogni funzione Lipschitz-continua è assolutamente continua.

La funzione di Cantor è continua in tutto il suo dominio, ma non è assolutamente continua.

[modifica] Continuità assoluta delle misure

Se μ e ν sono misure sullo stesso spazio di misura (o, più precisamente, sulla stessa sigma-algebra), allora μ si dice assolutamente continua rispetto alla ν se μ(A) = 0 per ogni insieme A per il quale ν(A) = 0. Questa situazione viene presentata con la scrittura "".

Il teorema di Radon-Nikodym afferma che se μ è assolutamente continua rispetto alla ν e se ν è σ-finita, allora μ possiede una densità, o una "derivata di Radon-Nikodym", rispetto alla ν, cioè una funzione misurabile f a valori in [0,∞], denotata con f = dμ/dν, tale che per ogni insieme misurabile A si ha

.

[modifica] Collegamento fra continuità assoluta delle funzioni reali e delle misure

Una misura μ sui sottoinsiemi di Borel della retta reale è assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue se e solo se la funzione

è una funzione reale assolutamente continua.