Absolute Stetigkeit

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In der Mathematik heißt eine auf einem Intervall $I$ definierte reellwertige Funktion $f$ absolut stetig, falls für jede Zahl $\varepsilon>0$ eine Zahl $δ > 0$ existiert, welche klein genug ist, so dass für jede Folge paarweise disjunkter Intervalle $[x_k,y_k],\ k= 1,\ldots,n$ , die in $I$ enthalten sind und der Bedingung

$\sum_{k=1}^n (y_k-x_k)<\delta$

genügen, die folgende Beziehung gilt:

$\sum_{k=1}^n\left|f(y_k)-f(x_k)\right|<\varepsilon$ .

Jede absolut stetige Funktion ist gleichmäßig stetig und damit insbesondere stetig. Andererseits ist jede Lipschitz-stetige Funktion auch absolut stetig.

Die Cantor-Lebesgue-Funktion ist ein Beispiel für eine überall stetige, aber nicht absolut stetige Funktion.

Absolut stetige Funktionen sind fast überall differenzierbar und diese Ableitung stimmt mit der schwachen Ableitung überein.

[Bearbeiten] Absolute Stetigkeit von Maßen

Sind $μ$ und $ν$ Maße auf der σ-Algebra $\mathcal A$ , so bezeichnet man $μ$ als absolut stetig (oder kurz: stetig) bezüglich $ν$ , falls für alle $A\in\mathcal A$ gilt:

$\nu(A)=0\Rightarrow\mu(A)=0$ .

Man schreibt kurz $\mu\ll\nu$ und spricht auch alternativ davon, dass $ν$ das Maß $μ$ dominiert.

Ein Maß $μ$ auf der reellen Zahlengerade ist genau dann absolut stetig bezüglich des Lebesgue-Maßes auf den Borel-Mengen der reellen Zahlen, wenn für jedes endliche Intervall $I$ die Einschränkung von

$F(x)=\mu((-\infty,x])$

auf $I$ eine absolut stetige reelle Funktion ist.

[Bearbeiten] Anwendungsbereiche

In der Theorie der optimalen Steuerungen wird bislang gefordert, dass die Lösungstrajektorien absolut stetig sind.

Der Satz von Radon-Nikodym besagt, dass, falls das Maß $μ$ absolut stetig bezüglich eines Maßes $ν$ ist und $ν$ σ-endlich ist, dann $μ$ eine Dichtefunktion, manchmal auch Radon-Nikodym-Ableitung genannt, bezüglich $ν$ besitzt, d.h. es gibt eine messbare Funktion $f$ in $[0,\infty)$ , die wir mit $f=\frac{d\mu}{d\nu}$ bezeichnen, so dass für jede messbare Menge A gilt: