Absoluuttinen jatkuvuus

Wikipedia

Matematiikassa reaaliarvoinen funktio f on absoluuttisesti jatkuva annetulla välillä jos kaikille positiivisille luvuille ε on olemassa positiivinen luku δ siten, että aina kun jono pareittain erillisiä välejä [x_k, y_k], k = 1, ..., n toteuttaa

$\sum_{k=1}^n \left|y_k-x_k\right|<\delta,$

on voimassa

$\sum_{k=1}^n\left|f(y_k)-f(x_k)\right|<\varepsilon.$

Jokainen absoluuttisesti jatkuva funktio on tasaisesti jatkuva ja siten jatkuva. Jokainen Lipschitz-funktio on absoluuttisesti jatkuva.

Cantorin funktio on kaikkialla jatkuva, mutta ei ole absoluuttisesti jatkuva, kuten ei ole myöskään funktio

$f(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{jos }x =0 \\ x \sin(1/x), & \mbox{jos } x \neq 0 \end{cases}$

äärellisellä välillä, joka sisältää origon. Myöskään $f (x) = x 2$ ei ole absoluuttisesti jatkuva äärettömällä välillä.

Jos f on absoluuttisesti jatkuva äärellisellä välillä [a,b], se on tällä välillä myös rajoitetusti heilahteleva funktio.
Jos f on absoluuttisesti jatkuva välillä [a,b], sillä on Lusinin N ominaisuus (eli kaikilla $L\subseteq [a,b]$ joilla $λ(L) = 0$ , on voimassa $λ(f (L)) = 0$ , missä $λ$ on Lebesguen mitta).
Jos f on absoluuttisesti jatkuva, on f:llä derivaatta melkein kaikkialla.
Jos f on jatkuva, rajoitetusti heilahteleva ja sillä on Lusinin N-ominaisuus, on se absoluuttisesti jatkuva.

[muokkaa] Mittojen absoluuttinen jatkuvuus

Jos μ ja ν ovat mittoja samassa sigma-algebrassa, on μ absoluuttisesti jatkuva ν:n suhteen jos μ(A) = 0 kaikilla joukoilla A joilla ν(A) = 0. Tälle käytetään merkintää "μ << ν". Siis:

$\mu \ll \nu \iff \left( \nu(A) = 0 \implies \mu (A) = 0 \right).$

Mittojen absoluuttinen jatkuvuus on refleksiivinen ja transitiivinen relaatio, mutta se ei ole antisymmetrinen. Siten se on esijärjestys, mutta ei osittainen järjestys. Jos μ << ν ja ν << μ, mittojen μ ja ν sanotaan olevan ekvivalentteja. Siten absoluuttinen jatkuvuus indusoi osittaisen järjestyksen kyseisten ekvivalenssiluokkien välille.

Jos μ on merkkinen tai kompleksimitta, sanotaan, että μ on absoluuttisesti jatkuva ν:n suhteen jos sen variaatio |μ| toteuttaa |μ| << ν. Yhtäpitävästi jos jokainen joukko A, jolla ν(A) = 0 on μ-nollajoukko.

Radonin–Nikodymin lause sanoo, että jos μ on absoluuttisesti jatkuva ν:n suhteen ja ν on σ-äärellinen, on μ:llä tiheys eli Radonin–Nikodymin derivaatta ν:n suhteen. Tästä seuraa, että on olemassa ν-mitallinen funktio f = dμ/dν, joka saa arvot [0,∞], jolle kaikilla ν-mitallisilla joukoilla A on voimassa

$\mu(A)=\int_A f\,d\nu.$