Teorema di Radon-Nikodym
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In matematica, il teorema di Radon–Nikodym è un risultato di analisi funzionale che afferma che se una misura ν su uno spazio misurabile (X,Σ) è assolutamente continua rispetto ad una misura μ sigma-finita sullo stesso spazio allora esiste una funzione misurabile definita su X a valori non negativi tale che
per ogni insieme A.
Il teorema è stato dimostrato da Johann Radon nel 1913 nel caso X=Rn e generalizzato da Otton Nikodym nel 1930.
La funzione f che introduce il teorema si dice derivata di Radon-Nikodym di ν rispetto μ e si indica con dν / dμ.
[modifica] Proprietà
- Se
e 
allora
- Se
allora
- Se g è una funzione ν-integrabile su X e , con f = dν / dμ allora
- Se ν è una misura con segno o complessa finita allora
[modifica] Applicazioni
Il teorema è molto importante in teoria della probabilità in quanto estende l'idea di misure discrete e misure continue di probabilità in un'unica idea di misura di probabilità su un insieme arbitrario e costruisce un metodo per passare da une alle altre. Tra le applicazioni troviamo la matematica finanziaria che lo utilizza nel prezzamento dei derivati.
[modifica] Bibliografia
- Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0486635198
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