Misura con segno

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In matematica, una misura con segno è una generalizzazione del concetto di misura che può essere anche a valori negativi.

Indice 1 Definizione 2 Esempi 3 Proprietà 4 Lo spazio delle misure con segno 5 Voci correlate 6 Bibliografia

[modifica] Definizione

Dato una spazio misurabile (X, Σ), cioè un insieme X con una sigma algebra Σ su di esso una misura con segno è una funzione

che è sigma additiva, cioè soddisfa l'equazione

per ogni successione di A₁, A₂, ..., A_n, ... di insiemi disgiunti in Σ. Si nota che una misura con segno può assumere come valore +∞ ma non −∞ o viceversa, poiché l'espressione ∞−∞ è indefinita e deve essere evitata.

Per evitare confusione con le misure ordinarie, le misure che non assumono valori negativi saranno chiamate misure non negative, in contrasto con le misure con segno che possono assumere valori negativi. Per semplicità si assumerà che il valore -∞ non è mai assunto dalla misura con segno considerata; il caso opposto è simile.

[modifica] Esempi

Si consideri una misura non negativa ν sullo spazio (X, Σ) e una funzione misurabile f:X→ R tale che

Quindi, una misura con segno è data da

per tutti gli A in Σ.

Questa misura assume solo valori finiti. Per consentire di assumere +∞ come valore si deve sostituire l'assunzione che f sia assolutamente integrabile con la condizione meno stringente

dove f⁻(x) = max(−f(x), 0) è la parte negativa di f.

[modifica] Proprietà

Quello che segue sono due risultati che implicano che una misura con segno è la differenza di due misure non negative.

Il teorema di decomposizione di Hahn afferma che data una misura con segno μ esistono due insiemi misurabili P e N tali che:

1. P∪N = X e P∩N = ∅;
2. μ(E) ≥ 0 per ogni E in Σ tale che E ⊆ P — in altre parole P è un insieme positivo;
3. μ(E) ≤ 0 per ogni E in Σ tale che E ⊆ N — cioè N è un insieme negativo.

Inoltre, la decomposizione è unica a meno di aggiungere/sottrarre da P e N μ-insieme vuoto.

Considerando due misure non negative μ⁺ e μ^- definite da

e

per ogni insieme misurabile E tale che E in Σ.

Si può dimostrare che sia μ⁺ e μ^- sono misure non negative, con la seconda che assume solo valori finiti. Sono chiamate rispettivamente parte positiva e parte negativa di μ. Si ha che μ = μ⁺ - μ^-. La misura |μ| = μ⁺ + μ^- è chiamata la variazione di μ e il suo valore massimo possibile, ||μ|| = |μ|(X), è chiamato la variazione totale di μ.

Questa conseguenza del teorema di decomposizione di Hahn è chiamata decomposizione di Jordan. Le misure μ⁺, μ^- e |μ| sono indipendenti dalla scelta di P e N nel teorema di decomposizione di Hahn.

[modifica] Lo spazio delle misure con segno

La somma di due misure con segno a valori finiti è una misura con segno, come anche il prodotto di una misura con segno a valori finiti per un numero reale. Segue che l'insieme delle misure con segno a valori finiti su uno spazio misurabile (X, Σ) è uno spazio vettoriale reale. Inoltre, la variazione totale definisce una norma con la quale lo spazio delle misure diventa uno spazio di Banach.

[modifica] Voci correlate

• Misura complessa
• Misura spettrale
• Misura vettoriale
• Teorema di rappresentazione di Riesz
• Area con segno

[modifica] Bibliografia

• (EN) Donald L. Cohn, Measure theory, Birkhäuser, 1997. ISBN 3-7643-3003-1.