Funzione misurabile

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In analisi matematica, una funzione misurabile è un'applicazione tra due spazi misurabili che sia compatibile con la loro struttura di σ-algebra. La richiesta di misurabilità di una funzione è in genere un'ipotesi di regolarità minima, ed è molto spesso richiesta per l'applicazione dei teoremi e dei metodi dell'analisi matematica e della teoria della misura^[1].

[modifica] Definizione matematica

Siano $(X, \mathfrak{F})$ e $(Y, \mathfrak{G})$ due spazi misurabili. Una applicazione $f: X \mapsto Y$ viene detta misurabile (o talvolta $(\mathfrak{F},\mathfrak{G})$ -misurabile) se la controimmagine di ogni elemento di $\mathfrak{G}$ è in $\mathfrak{F}$ . Ossia, se $f - 1$ trasforma insiemi misurabili di $Y$ in insiemi misurabili di $X$ : $\forall A \in \mathfrak{G}, f^{-1}(A) \in \mathfrak{F}$ .

Utilizzando il linguaggio della Teoria delle categorie, possiamo più concisamente definire una funzione misurabile come un morfismo di spazi misurabili.

[modifica] Principali risultati

Riportiamo qui alcuni semplici risultati riguardanti le funzioni misurabili, che in parte ne chiariscono l'utilità^[2]

La composizione di funzioni misurabili è misurabile. Ossia, siano $(X, \mathfrak{F})$ , $(Y, \mathfrak{G})$ , $(Z, \mathfrak{H})$ degli spazi misurabili, e $f:X \mapsto Y$ e $g:Y \mapsto Z$ due funzioni misurabili. Allora la funzione $h: X \mapsto Z$ definita da $h= g \circ f$ è misurabile.
Se $(X, \mathfrak{F})$ e $(Y, \mathfrak{G})$ sono due spazi boreliani (ossia, $X$ ed $Y$ hanno una struttura topologica, ed $\mathfrak{F}$ , $\mathfrak{G}$ sono le σ-algebre generate dalle relative topologie), allora ogni funzione continua da $X$ ad $Y$ è misurabile.
Sempre nel caso in cui $(X, \mathfrak{F})$ e $(Y, \mathfrak{G})$ siano due spazi boreliani, i limiti puntuali di funzioni misurabili sono funzioni misurabili. Vale a dire, sia $\{f_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ una successione (più in generale, potremmo effettuare la medesima costruzione per una rete) di funzioni misurabili $f_n: X \mapsto Y$ . Supponiamo che le $f n$ convergano puntualmente ad $f$ , ossia che per ogni $x \in X$ esista $\lim_{n \to \infty} f_n(x) =: f(x)$ . Allora $f$ è una funzione misurabile.
Lo studio di funzioni misurabili su spazi misurabili prodotto è importante in diversi settori della matematica (come ad esempio, nei risultati riguardanti gli integrali multipli, e -nella teoria della probabilità- le variabili aleatorie indipendenti, l'integrazione stocastica, ed i processi stocastici in generale). Forniamo nel seguito una semplice osservazione, che è tuttavia caratteristica del modo di procedere in questo campo, ed è alla base del teorema di Fubini. Siano dunque $(X, \mathfrak{F})$ , $(Y, \mathfrak{G})$ , $(Z, \mathfrak{H})$ degli spazi misurabili, e supponiamo che $\mathfrak{F}$ e $\mathfrak{G}$ contengano tutti i singleton^[3], ossia tutti gli insiemi costituiti da un solo elemento. Indichiamo con $(X\times Y,\mathfrak{F}\times\mathfrak{G})$ lo spazio misurabile prodotto di $(X, \mathfrak{F})$ per $(Y, \mathfrak{G})$ . Se $f:X\times Y \mapsto Z$ è una funzione $(\mathfrak{F}\times\mathfrak{G},\mathfrak{H})$ -misurabile, allora per ogni fissato $x \in X$ la funzione $f (x)$ (talvolta detta sezione di $f$ lungo $x$ ):

$f_{(x)}:Y \mapsto Z$

$f (x) (y): = f (x, y)$

è $(\mathfrak{G},\mathfrak{F})$ -misurabile.

[modifica] Esempi

L'identità è una funzione misurabile su un qualsiasi spazio misurabile. Più in generale, essa è misurabile da $(X,\mathfrak{F})$ a $(X,\mathfrak{G})$ se e solo se $\mathfrak{G}\subset \mathfrak{F}$ .
Nelle questioni riguardanti la misurabilità di funzioni a valori reali, in genere i numeri reali si considerano implicitamente equipaggiati con la loro σ-algebra di Borel $\mathfrak{B}$ . Ad esempio, dato uno spazio misurabile $(X,\mathfrak{F})$ , una funzione $f:X \mapsto \mathbb{R}$ si dirà misurabile se essa è - con la notazione introdotta sopra - $(\mathfrak{F},\mathfrak{B})$ -misurabile. Si noti che in questo caso, affinché sia garantita la misurabilità di una funzione a valori reali, è sufficiente che accada $f^{-1}\big((a,b)\big)\in \mathfrak{F}$ per ogni intervallo reale $(a, b)$ .
Se $(X,\mathfrak{F})$ e $(\Psi,\mathfrak{G})$ sono due spazi boreliani, allora ogni funzione continua è misurabile^[4].
Se $E \subset X$ è un insieme misurabile, allora la funzione caratteristica o funzione indicatrice di $E$ , denotata con $χ E$ e definita da:

$\chi_E(x):= \begin{cases}1 \quad \mbox{se x appartiene ad E} \\ 0 \quad \mbox{se x non appartiene ad E} \end{cases}$ ,

è misurabile (rispetto alla σ-algebra di Borel sui numeri reali, si veda sopra). Tale semplice osservazione, si utilizza ad esempio in una possibile definzione di integrale (dapprima esso si definisce per funzioni caratteristiche, e quindi si necessita della loro misurabilità).

[modifica] Applicazioni

La nozione di funzione misurabile è stata introdotta in matematica principalmente con lo scopo di formalizzare la teoria dell'integrazione. Per poter definire l'integrale di una funzione, è necessario che questa abbia delle proprietà di regolarità, tra cui appunto la misurabilità. Dato uno spazio di misura $(X,\mathfrak{F},\mu)$ , per definire l'integrale rispetto a $μ$ di una funzione a valori reali, dovremmo richiedere che tale funzione sia $(\mathfrak{F},\mathfrak{B})$ -misurabile (qui $\mathfrak{B}$ è la σ-algebra di Borel dei numeri reali)^[5].

Per approfondire, vedi la voce integrale.

Le funzioni misurabili giocano un ruolo fondamentale nella teoria dei sistemi dinamici. In questo ambito, esse sono anche definite osservabili del sistema, poiché nella formalizzazione matematica di un fenomeno fisico tramite un sistema dinamico, le funzioni misurabili rappresentano proprio le quantità che possiamo effettivamente osservare, misurare appunto.

Per approfondire, vedi la voce Sistema dinamico.

In teoria della probabilità, un processo stocastico è una funzione misurabile da uno spazio di probabilità a valori in un opportuno insieme, generalmente uno spazio funzionale. Nonostante vi siano in matematica diverse definizioni non-equivalenti di processo stocastico, la misurabilità è sempre la richiesta fondamentale perché una funzione su di uno spazio di probabilità sia detta processo stocastico.

Per approfondire, vedi la voce processo stocastico.

[modifica] Voci correlate

[modifica] Bibliografia

Patrick Billingsley. Probability and measure. 3rd edition. New York, John Wiley & Sons, 1995. ISBN 0-471-00710-2.

Donald L. Cohn. Measure Theory. Boston, Birkhäuser, 1980. ISBN 0-849-37157-0

Lawrence C. Evans. Measure Theory and fine properties of functions. Boca Raton, CRC Press, 1992. ISBN 0-817-63003-1

Paul R. Halmos. Measure Theory. New York, Springer-Verlag, 1974. ISBN 0-387-90088-8

[modifica] Note

^ Per un'introduzione alle idee della teoria della misura (come appunto quella di funzione misurabile), ed alle loro applicazioni si veda Billingsley Probability and measure. Una presentazione generale, ma più astratta, è data anche in Cohn, Measure Theory. Un testo introduttivo classico è Halmos Measure Theory.
^ Dimostrazioni ed ulteriori risultati sono dati in Evans, Gariepy Measure Theory and fine properties of functions, cap.1.
^ Si noti che questa ipotesi è molto debole e generalmente soddisfatta dalle σ-algebre comunemente utilizzate. Essa ad esempio è automaticamente soffisfatta dalle σ-algebre boreliane di spazi T₁.
^ Si veda il Lemma di misurabilità di funzioni continue nella sezione Principali risultati della voce Algebra di Borel.
'^ Si noti tuttavia che affinché gli integrali risultino ben definiti, la misurabilità della funzione integranda è una condizione necessaria ma non sufficiente. Infatti, in generale si dovrà assumere che l'integranda $f$ sia anche integrabile.Spesso tuttavia quest'ultima condizione (lintegrabilità) è verificabile esplicitamente. Ad esempio, se $μ$ è una misura finita, allora ogni funzioni misurabile e limitata è integrabile.

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che parlano di matematica

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Funzione misurabile

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Indice

[modifica] Definizione matematica

[modifica] Principali risultati

[modifica] Esempi

[modifica] Applicazioni

[modifica] Voci correlate

[modifica] Bibliografia

[modifica] Note

Views

Navigazione

comunità

Ricerca

Altre lingue