Funkcja mierzalna

Z Wikipedii

Funkcja mierzalna - jedno z podstawowych pojęć teorii miary. Funkcje mierzalne (względem ustalonego σ-ciała) stanowią klasę funkcji w pewnym sensie porządnych. Są one tym dla przestrzeni mierzalnych czym funkcje ciągłe dla przestrzeni topologicznych. W szczególności, definicja całki Lebesgue'a oparta jest na tym pojęciu. W rachunku prawdopodobieństwa, funkcje mierzalne nazywane są zmiennymi losowymi.

Spis treści

1 Definicja
- 1.1 Uwagi
2 Warunki równoważne mierzalności
3 Własności
4 Funkcje borelowskie
- 4.1 Własności funkcji borelowskich
5 Bibliografia
6 Przypisy
7 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Niech $(X_1, \mathcal{F}_1), (X_2, \mathcal{F}_2)$ będą przestrzeniami mierzalnymi^[1] oraz niech $A$ będzie podzbiorem $X 1$ . Mówimy, że funkcja $f\colon A\to X_2$ jest $\mathcal{F}_1/\mathcal{F}_2$ -mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz każdego zbioru mierzalnego względem $\mathcal{F}_2$ jest mierzalny względem $\mathcal{F}_1$ , tzn.

$f^{-1}(B)\in \mathcal{F}_1$ , dla każdego $B\in \mathcal{F}_2$ .

[edytuj] Uwagi

W szczególności, gdy rozważamy funkcje o wartościach w $\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}}, \mathbb{C}, \mathbb{R}^M$ dla pewnego $M\in \mathbb{N}$ , to zwykle za $\mathcal{F}_2$ przyjmujemy σ-ciało podzbiorów borelowskich każdego z powyższych zbiorów (chyba, że wskazano inaczej). W dalszej części artykułu będziemy przyjmować, że $X_2=\overline{\mathbb{R}}$ i zamiast mówić funkcja $\mathcal{F}_1/\mathcal{F}_2$ -mierzalna, będziemy mówić krótko, że funkcja $f$ jest $\mathcal{F}_1$ -mierzalna albo mierzalna względem σ-ciała $\mathcal{F}_1$ . W dalszym ciągu, niech $(X, \mathcal{F})$ będzie ustaloną przestrzenią mierzalną, $A\subseteq X$ oraz $f\colon A\to \overline{\mathbb{R}}$ .

[edytuj] Warunki równoważne mierzalności

Jeśli $f\colon A\to \overline{\mathbb{R}}$ , to każde dwa z następujących zdań są równoważne:

$f$ jest funkcją $\mathcal{F}$ -mierzalną.
$\{x\in A\colon f(x)> a\}\in\mathcal{F}$ , dla każdego $a\in\mathbb{R}$
$\{x\in A\colon f(x)\geq a\}\in\mathcal{F}$ , dla każdego $a\in\mathbb{R}$
$\{x\in A\colon f(x)< a\}\in\mathcal{F}$ , dla każdego $a\in\mathbb{R}$
$\{x\in A\colon f(x)\leq a\}\in\mathcal{F}$ , dla każdego $a\in\mathbb{R}$
$f^{-1}(B)\in\mathcal{F}$ , dla każdego $B\in\mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}})$ ^[2]
$\{x\in A\colon f(x)=+\infty\}\in \mathcal{F}$ oraz $f^{-1}(B)\in\mathcal{F}$ , dla każdego $B\in\mathcal{B}({\mathbb{R}})$
$\{x\in A\colon f(x)=-\infty\}\in \mathcal{F}$ oraz $f^{-1}(B)\in\mathcal{F}$ , dla każdego $B\in\mathcal{B}({\mathbb{R}})$

[edytuj] Własności

Jeśli $(X_1, \mathcal{F}_1), (X_2, \mathcal{F}_2), (X_2, \mathcal{F}_3)$ są przestrzeniami mierzalnymi oraz $f_1\colon X_1\to X_2$ jest $\mathcal{F}_1/\mathcal{F}_2$ -mierzalna, natomiast $f_2\colon X_2\to X_3$ jest $\mathcal{F}_2/\mathcal{F}_3$ -mierzalna, to funkcja $f_2\circ f_1$ jest $\mathcal{F}_1/\mathcal{F}_3$ -mierzalna. W dalszym ciągu, niech $f\colon A\to \overline{\mathbb{R}}$ będzie taka jak poprzednim paragrafie, ponadto niech będzie dodatkowo $\mathcal{F}$ -mierzalna. Jeśli $F\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ jest ciągła, to $F\circ f$ jest $\mathcal{F}$ -mierzalna.
Suma, różnica, kombinacja liniowa, iloczyn i iloraz (jeśli jest określony), minimum i maksimum funkcji mierzalnych względem tego samego (tych samych) σ-ciała (σ-ciał) jest mierzalny.
- Wniosek: Funkcja $f$ jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej część nieujemna i niedodatnia są mierzalne, tzn. mierzalne są funkcje $f + = max{f,0}, f - = max{ - f,0}$ .
Funkcja stała jest mierzalna względem każdego σ-ciała.
Granica dolna i górna oraz granica (gdy istnieje) ciągu funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną.
Zbiór funkcji mierzalnych tworzy (rzeczywistą bądź zespoloną) przestrzeń liniową (w zależności od zbioru $X 2$ ).
Funkcja charakterystyczna zbioru A jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy A jest mierzalny.

[edytuj] Funkcje borelowskie

Niech $X$ będzie przestrzenią metryczną (topologiczną) i $B\in\mathcal{B}(X)$ . Funkcję $f\colon B \to \overline{\mathbb{R}}$ nazywamy borelowską wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją $\mathcal{B}(X)$ -mierzalną.

[edytuj] Własności funkcji borelowskich

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną, $B\subseteq X$ będzie zbiorem borelowskim. Jeśli $f\colon B\to \overline{\mathbb{R}}$ jest ciągła, to jest borelowska.
Jeśli $f\colon A\to \overline{\mathbb{R}}$ jest funkcją $\mathcal{F}$ -mierzalną, $B\in\mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}}), f(A)\subset B$ oraz $g\colon B\to \overline{\mathbb{R}}$ jest funkcją borelowską, to $g\circ f$ jest funkcją mierzalną.
Funkcja charakterystyczna zbioru A jest funkcją borelowską wtedy i tylko wtedy, gdy A jest zbiorem borelowskim.

[edytuj] Bibliografia

Patrick Billingsley: Probability and Measure, 2nd Edition. Nowy Jork: John Wiley & Sons Inc, 1986.
Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.
Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973.

Przypisy

↑ tzn. $\scriptstyle{X_1, X_2}$ są zbiorami, a $\scriptstyle{\mathcal{F}_1, \mathcal{F}_2}$ , odpowiednio, σ-ciałami ich podzbiorów
↑ Rodzina borelowskich podzbiorów przestrzeni $\scriptstyle{X}$ jest oznaczana przez $\scriptstyle{\mathcal{B}(X)}$