Przestrzeń topologiczna

Z Wikipedii

Przestrzeń topologiczna - podstawowe pojęcie topologii, która jest działem matematyki. Każdą przestrzeń metryczną interpretuje się w standardowy sposób jako przestrzeń topologiczną. Także zbiory liniowo uporządkowane. Ponadto w geometrii algebraicznej wygodna jest topologia Zariskiego, która pozwala traktować zbiór algebraiczny jako przestrzeń topologiczną.

[edytuj] Intuicje

Wiele własności obiektów studiowanych w analizie matematycznej można scharakteryzować wyłącznie za pomocą zbiorów otwartych. Przykładowo, funkcja $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz $f - 1 (U)$ dowolnego otwartego podzbioru $\mathbb R$ jest otwarty.

Przypomnijmy, że w teorii przestrzeni metrycznych (a więc np. w $\mathbb R$ z metryką euklidesową) zbiorami otwartymi są zbiory będące sumami (również nieskończonymi) kul otwartych (zbiorów punktów odległych od zadanego – środka – o mniej niż zadana odległość nazywana promieniem)^[1]. Rodzina otwartych podzbiorów prostej rzeczywistej ma szereg własności będących podstawą wielu dowodów, m.in.

cała przestrzeń jest zbiorem otwartym;
przekrój (część wspólna) dwóch zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym;
suma dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

W szczególności zbiór pusty jest otwarty, gdyż jest sumą pustej rodziny zbiorów otwartych.

Jeśli rozważania o prostej $\mathbb R$ powtórzymy w dowolnej innej przestrzeni metrycznej (w naturalny sposób używając nowej metryki, zamiast odległości na prostej), to zauważamy, że podstawowe własności zbiorów otwartych i ich użycie w wielu rozumowaniach nie ulegają zmianie. Często okazuje się, że zrozumienie struktury zbiorów otwartych jest bardziej użyteczne niż studiowanie samej metryki. Przestrzeń topologiczna to uogólnienie pojęcia przestrzeni metrycznej – można powiedzieć, że jest to przestrzeń z zadanymi z góry zbiorami otwartymi, a zakładane własności rodziny zbiorów otwartych to minimum niezbędne do budowy nietrywialnej, a zarazem spójnej teorii.

Najbardziej interesujące są dla matematyków te własności przestrzeni topologicznych, które zachowują się podczas przekształcania ich w sposób wzajemnie jednoznaczny, ciągły oraz otwarty – czyli poprzez homeomorfizm. Takimi własnościami są na przykład zwartość, ośrodkowość i spójność, lecz nie zupełność.

[edytuj] Definicja

Mówimy, że rodzina zbiorów $\mathcal T \subseteq \mathcal P(X)$ jest topologią na zbiorze $X$ , jeśli spełnia następujące trzy aksjomaty:

$X \in \mathcal T$ ,
jeśli $U, V \in \mathcal T$ , to $U \cap V \in \mathcal T$ ,
jeśli $\mathcal A \subseteq \mathcal T$ , to $\bigcup \mathcal A \in \mathcal T$ .

W szczególności zbiór pusty należy do $\mathcal{T}$ (jest otwarty), jako suma pustej rodziny zbiorów otwartych ( $\varnothing \subseteq \mathcal T$ ):

$\varnothing = \bigcup \varnothing \in \mathcal{T}$

Jeśli $\mathcal T$ jest topologią na zbiorze $X$ , to

parę $(X, \mathcal T)$ nazywamy przestrzenią topologiczną; jeżeli topologia jest znana, to zwykle tę przestrzeń zapisuje się krótko: $X$ ,
elementy rodziny $\mathcal T$ nazywamy podzbiorami otwartymi przestrzeni $X$ ,
dopełnienia (do przestrzeni $X$ ) zbiorów otwartych nazywamy podzbiorami domkniętymi przestrzeni $X$ .
wnętrzem zbioru $A \subset X$ nazywamy zbiór

$\operatorname{Int}A := \bigcup\ \{U \in \mathcal T\colon U \subset A \}$ .^[2]

domknięciem zbioru $A \subset X$ nazywamy zbiór

$\operatorname{cl}A := \bigcap \{F \subseteq X\colon A \subset F \and X \setminus F \in \mathcal T\}$ . ^[3]

[edytuj] Przykłady

Niech $X$ będzie dowolnym zbiorem. $(X,\mathcal{T})$ jest przestrzenią topologiczną, gdy

$\mathcal{T}:=\{U\subseteq X\colon\; U=\varnothing \vee |X\setminus U|<\aleph_0\}$ .

Niech $X$ będzie zbiorem oraz $x_0\in X$ będzie ustalonym punktem. $(X,\mathcal{T})$ jest przestrzenią topologiczną, gdy

$\mathcal{T}:=\{U\subseteq X\colon\; x_0\notin U \vee |X\setminus U|<\aleph_0\}$ .

[edytuj] Sposoby wprowadzania

Aby określić topologię na danym zbiorze $X$ , należy zadeklarować które z podzbiorów $X$ są otwarte, i sprawdzić, że tak wyróżniona rodzina zbiorów spełnia wymagania aksjomaty topologii (patrz wyżej). W praktyce topologicznej, często najpierw opisuje się inne rodziny zbiorów lub operacji na zbiorach, z których następnie definiuje się topologię na danej przestrzeni.

Poniżej, niech $X$ będzie ustalonym zbiorem niepustym.

[edytuj] Poprzez rodzinę zbiorów domkniętych

Przypuśćmy że rodzina $\mathcal F$ podzbiorów $X$ spełnia następujące warunki:

$\varnothing,X \in \mathcal F$ ,
suma skończenie wielu zbiorów z $\mathcal F$ należy do $\mathcal F$ ,
część wspólna dowolnej rodziny zbiorów z $\mathcal F$ należy do $\mathcal F$ .

Wówczas istnieje (jedyna) topologia $\mathcal{T}$ na $X$ taka, że $\mathcal F$ jest rodziną zbiorów domkniętych w tej topologii.

[edytuj] Za pomocą operacji wnętrza

Jeśli funkcja, którą nazwiemy operacją wnętrza (operacją Kuratowskiego), $\Phi\colon \mathcal P(X) \to \mathcal P(X)$ spełniająca, dla dowolnych $A,B\subseteq X$ , następujące warunki:

(IO1)

Φ(X) = X

(IO2) $\Phi(A) \subseteq A$ ,

(IO3) $\Phi(A \cap B)=\Phi(A) \cap \Phi(B)$ ,

(IO4) $\Phi\big(\Phi(A)\big)=\Phi(A)$ ,

to rodzina $\mathcal{T}=\{U\subseteq X\colon \Phi(U)=U\}$ jest topologią na $X$ oraz $\operatorname{Int}(A)=\Phi(A)$ dla dowolnego $A \subseteq X$ , innymi słowy $Φ$ jest operacją wnętrza dla tej topologii.

Powyższe twierdzenie nazywa się twierdzeniem Kuratowskiego.

[edytuj] Zastosowanie operacji domknięcia

Jeśli funkcja $\Psi\colon{\mathcal P}(X) \to {\mathcal P}(X)$ spełnia, dla dowolnych $A,B\subseteq X$ , następujące warunki:

(CO1) $\Psi(\varnothing)=\varnothing$ ,

(CO2) $A\subseteq \Psi(A)$ ,

(CO3) $\Psi(A\cup B)=\Psi(A)\cup \Psi(B)$ ,

(CO4) $\Psi\big(\Psi(A)\big)=\Psi(A)$ .

to rodzina $\mathcal{T}=\{X\setminus U\subseteq X\colon \Psi(U)=U\}$ jest topologią na $X$ oraz $\operatorname{cl}(A)=\Psi(A)$ dla dowolnego $A \subseteq X$ , innymi słowy $Ψ$ jest operacją domknięcia dla tej topologii.

[edytuj] Wskazanie bazy

Przypuśćmy że rodzina ${\mathcal B}$ podzbiorów $X$ spełnia następujące dwa warunki:

(B1) jeśli $U,V\in {\mathcal B}$ oraz $x\in U\cap V$ , to można znaleźć $W\in {\mathcal B}$ taki że $x\in W\subseteq U\cap V$ ,

(B2) dla każdego $x\in X$ można znaleźć $U\in {\mathcal B}$ takie że $x\in U$ .

Wówczas istnieje (jedyna) topologia $\mathcal{T}$ na $X$ taka, że rodzina ${\mathcal B}$ jest bazą tej topologii.

[edytuj] Przykłady

Niech $X$ będzie zbiorem wszystkich ideałów pierwszych $I$ pierścienia $\mathbb{Z}$ . $X$ jest przestrzenią topologiczną, której bazą jest zbiór

$\{V_k\colon k\in\mathbb{N}\}$ , gdzie $V_k=\{I\in X\colon\; k\notin I\}$ .

Niech $X=\mathbb{N}\setminus\{1\}$ . $X$ jest przestrzenią topologiczną, której bazą jest zbiór

$\{V_k\colon k\in\mathbb{N}\setminus\{1\}\}$ , gdzie $V_k=\{n\in X\colon\; n|k\}$ .

[edytuj] Określenie systemu otoczeń

Załóżmy, że $\{\mathcal B(x)\colon x \in X\}$ jest systemem podzbiorów $X$ takim, że następujące warunki są spełnione:

(BP1) Dla każdego $x\in X$ , $\mathcal B(x) \ne \varnothing$ i dla każdego $U \in \mathcal B(x)$ mamy $x \in U$ .

(BP2) Jeśli $x \in U \in \mathcal B(y)$ , $x, y \in X$ , to istnieje $V \in \mathcal B(x)$ takie, że $V \subseteq U$ .

(BP3) Dla każdych $U_1, U_2 \in \mathcal B(x)$ , $x \in X$ , można znaleźć $U \in \mathcal B(x)$ takie, że $U \subseteq U_1 \cap U_2$ .

Niech $\mathcal{T}$ będzie rodziną wszystkich podzbiorów $X$ , które mogą być przedstawione jako sumy podrodzin rodziny $\bigcup_{x\in X} \mathcal B(x)$ . Wówczas $\mathcal{T}$ jest topologią na $X$ i $\{\mathcal B(x)\colon x\in X\}$ jest systemem (bazą) otoczeń otwartych dla tej topologii.

[edytuj] Przykłady

Przypisy

↑ Na prostej rzeczywistej wyposażonej w metrykę $\scriptstyle{d(x,y)=|x-y|}$ dla $\scriptstyle{x,y \in \mathbb R}$ zbiorami otwartymi są po prostu przedziały otwarte.
↑ Oczywiście, jeśli $\scriptstyle{A \in \mathcal T}$ , to $\scriptstyle{\operatorname{Int}A = A}$ .
↑ Więc:

$\scriptstyle{\operatorname{cl}A = X \setminus \operatorname{Int}(X \setminus A)}$

Oczywiście, jeśli $\scriptstyle{X \setminus A \in \mathcal T}$ (gdy $\scriptstyle{A}$ jest domknięte), to $\scriptstyle{\operatorname{cl}A = A}$ .