Topoloogiline ruum
Allikas: Vikipeedia
Topoloogiline ruum on matemaatika üks põhimõisteid, eukleidilise ruumi ja meetrilise ruumi üldistus. Topoloogilistele ruumidele on võimalik üldistada paljusid matemaatilise analüüsi mõisteid, nagu näiteks koonduvus, pidevus ja sidusus.
Topoloogilisi ruume uurib matemaatika haru üldine topoloogia. Seda mõistet kasutatakse paljudes teistes matemaatika harudes.
Kui on selge, et jutt on topoloogilisest ruumist, võidakse selle kohta kasutada ka lihtsalt sõna "ruum".
Sisukord |
[redigeeri] Definitsioon
Topoloogilist ruumi defineeritakse mitmel ekvivalentsel moel. Kõige levinuma definitsiooni puhul võetakse algmõisteks lahtise hulga mõiste.
[redigeeri] Definitsioon lahtiste hulkade kaudu
Topoloogiliseks ruumiks nimetatakse järjestatud paari (X;τ), kus X on mingi mittetühi hulk ning τ on hulga X alamhulkade hulk, mis rahuldab järgmisi tingimusi:
- tühi hulk ja hulk X kuuluvad hulka τ,
- iga kahe hulka τ kuuluva alamhulga ühisosa kuulub hulka τ,
- ükskõik kui paljude hulka τ kuuluvate alamhulkade ühend kuulub hulka τ.
Hulka τ nimetatakse topoloogilise ruumi (X;τ) topoloogiaks ning kogumi τ elemente lahtisteks hulkadeks topoloogilises ruumis (X;τ). Lahtise hulga täiendit hulgani X nimetatakse kinniseks hulgaks topoloogilises ruumis (X;τ). Kui on selge, missugust topoloogiat hulgal X vaadeldakse, siis võidakse topoloogilist ruumi (X;τ) tähistada ka lihtsalt tähisega X.
Olgu τ1 ja τ2 topoloogiad hulgal X. Öeldakse, et topoloogia τ1 on tugevam kui topoloogia τ2 (ehk topoloogia τ2 on nõrgem kui topoloogia τ1), kui .
[redigeeri] Definitsioon kinniste hulkade kaudu
Topoloogilise ruumi saab määratleda ka kinniste hulkade kaudu:
Topoloogiliseks ruumiks nimetatakse järjestatud paari (X;κ), kus X on mingi mittetühi hulk ning κ on hulga X alamhulkade hulk, mis rahuldab järgmisi tingimusi:
- tühi hulk ja hulk X kuuluvad hulka κ,
- iga kahe hulka τ kuuluva alamhulga ühend kuulub hulka κ,
- ükskõik kui paljude hulka κ kuuluvate alamhulkade ühisosa kuulub hulka τ.
Hulka κ kuuluvaid alamhulki nimetatakse kinnisteks hulkadeks ning hulga κ elementide täiendeid lahtisteks hulkadeks topoloogilises ruumis (X;κ).
Lihtne on veenduda, et topoloogilise ruumi määratlus kinniste hulkade kaudu on samaväärne topoloogilise ruumi määratlusega lahtiste hulkade kaudu — see tähendab, et iga X, τ ja κ korral (X;τ) on topoloogiline ruum esimese määratluse järgi ning κ on topoloogilise ruumi (X;τ) kõigi kinniste hulkade hulk esimese määratluse järgi parajasti siis, kui (X;κ) on topoloogiline ruum teise määratluse järgi ning τ on topoloogilise ruumi (X;κ) kõigi lahtiste hulkade hulk teise määratluse järgi.
[redigeeri] Näiteid
[redigeeri] Triviaalne topoloogia ja diskreetne topoloogia
Olgu X mistahes mittetühi hulk. Siis on topoloogia hulgal X. Seda topoloogiat nimetatakse triviaalseks topoloogiaks hulgal X. Tegu on nõrgima topoloogiaga hulgal X.
Samamoodi on mistahes mittetühja hulga X korral hulk 2X (hulga X kõigi alamhulkade hulk) topoloogia hulgal X; teda nimetatakse diskreetseks topoloogiaks hulgal X. Ilmselt on tegu tugevaima topoloogiaga hulgal X.
[redigeeri] Kolõplik topoloogia
Olgu X mistahes mittetühi hulk ning A tema kõigi lõplike alamhulkade hulk. Siis \} on topoloogia hulgal X; seda nimetatakse kolõplikuks topoloogiaks hulgal X.
[redigeeri] Meetriline ruum topoloogilise ruumina
Olgu (X;ρ) meetriline ruum. Tähistame B(a,r) abil lahtist kera keskpunktiga x ja raadiusega r, s. o. iga korral. Siis on topoloogia hulgal X — see on kauguse ρ poolt määratud topoloogia hulgal X.
Kaks erinevat kaugust ühel hulgal võivad määrata ühe ja sama topoloogia. Topoloogilist ruumi, mida saab vaadelda meetrilise ruumina, s. o. millel saab määratleda niisuguse kauguse, mis määrab selle topoloogilise ruumi topoloogia, nimetatakse metriseeruvaks topoloogiliseks ruumiks.
Kui (X;ρ) on meetriline ruum, τX on kauguse ρ poolt määratud topoloogia hulgal X ning A on hulga X mittetühi alamhulk, siis kauguse ρ poolt hulgal A määratud topoloogia on hulga A alamruumi topoloogia topoloogilises ruumis (X;τX).
[redigeeri] Loomulik topoloogia lõplikumõõtmelistes vektorruumides
Arvuhulgad ja on normeeritud ruumid loomuliku normi suhtes ja seega meetrilised ruumid sellele normile vastava loomuliku kauguse ρ(x,y) = | x − y | suhtes, kus || tähistab reaalarvude puhul absoluutväärtust ja kompleksarvude puhul moodulit. Selle kauguse poolt määratud topoloogiat nimetatakse loomulikuks topoloogiaks vastaval arvuhulgal. Näiteks hulga loomulik topoloogia on väljakirjutatuna .
Olgu ja . Osutub, et iga kahe normi ja korral vektorruumil (üle korpuse ) kummalegi normile vastavate kauguste poolt määratud topoloogiad ühtivad. Nii võib määratleda loomuliku topoloogia hulkadel kui mistahes normeeritud ruumi normile vastava kauguse poolt määratud topoloogia.
Kui A on mingi hulga mittetühi alamhulk ja τ on loomulik topoloogia hulgal , siis hulga A loomulikuks topoloogiaks nimetame tema alamruumi topoloogiat topoloogilises ruumis . Kui mingi kaugus ρ määrab loomuliku topoloogia hulgal , siis määrab ta ka loomuliku topoloogia hulgal A. Näiteks kaugus ρ(x,y) = | x − y | määrab loomuliku topoloogia kõigi naturaalarvude hulgal või lõigul [a,b]. Seejuures osutub kõigi naturaalarvude hulga loomulik topoloogia diskreetseks topoloogiaks.
[redigeeri] Üks (mitteloomulik) naturaalarvude topoloogia
Tähistame iga korral . Siis on topoloogia hulgal .