Przestrzeń zwarta
Z Wikipedii
Przestrzeń zwarta – przestrzeń topologiczna X spełniająca warunek:
- Z dowolnego pokrycia przestrzeni X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone (tj. już skończona liczba zbiorów danego pokrycia tworzy pokrycie).
Zbiór nazywamy zbiorem zwartym gdy A traktowane jako podprzestrzeń (z topologią podprzestrzeni z X) jest przestrzenią zwartą.
NIektórzy autorzy dodają do założeń zwartości, że rozważana przestrzeń spełnia warunek Hausdorffa.
[edytuj] Idea
Idea zwartości wyłoniła się w drodze rozważań topologicznych - matematycy zauważyli, że przestrzenie spełniające warunek zwartości dobrze się zachowują. Oto najważniejsze przykłady takich dobrych zachowań:
- funkcja ograniczona, określona na przestrzeni zwartej, przyjmuje swoje kresy;
- funkcja ciągła określona na przestrzeni zwartej jest jednostajnie ciągła;
- każda metryczna przestrzeń zwarta jest zupełna.
Mówiąc ogólniej (i zapewne mniej przejrzyście): w przestrzeni zwartej niektóre własności spełniane lokalnie, są automatycznie spełnione globalnie. Mówiąc niektóre mamy na myśli dokładnie te własności P, które spełniają warunek: dla każdych zbiorów otwartych V,U, jeżeli V,U mają własność P, to również ich suma ma tą własność.
Zwartość jest jednym z podstawowych pojęć topologicznych. Nie jest to jednak pojęcie, z którym w ogólności można wiązać uchwytne intuicje lub analogie.
[edytuj] Własności
- Ciągły obraz przestrzeni zwartej jest zwarty.
- Dowód
Niech X będzie przestrzenią zwartą, a odwzorowaniem ciągłym. Udowodnimy, że f(X) jest zwarte.
Niech jest otwartym pokryciem f(X). Oczywiście jest otwartym pokryciem X.
Istotnie, otwartość rodziny od razu wynika z ciągłości f. Ponadto dla dowolnego istnieje zbiór Vλ', taki że . Dlatego też .
Na mocy zwartości X istnieje skończona rodzina zbiorów będąca pokryciem X.
Łatwo widzimy, że jest otwartym, skończonym pokryciem f(X).
Zatem z dowolnego pokrycia f(X) udało się wybrać otwarte podpokrycie. Czyli f(X) jest zwarty.
- Podzbiór przestrzeni euklidesowej jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest domknięty i ograniczony (twierdzenie Heinego-Borela).
- Funkcja ciągła na przestrzeni zwartej o wartościach w jest ograniczona i przyjmuje swoje kresy (twierdzenie Weierstrassa).
- Dowód
Niech będzie ciągłą funkcją na przestrzeni zwartej (X,d).
f(X) jest zwarty jako ciągły obraz przestrzeni zwartej. Na mocy twierdzenia Heinego-Borela (Własność 2). f(X) jest domknięty i ograniczony.
Ograniczoność f(X) oznacza, że f jest ograniczona.
Z definicji supremum i infimum, na mocy domkniętości f(X) wynika że oraz .
Zatem f przyjmuje swoje kresy.
- Iloczyn kartezjański przestrzeni zwartych (z topologią produktową z tych przestrzeni) jest zwarty (twierdzenie Tichonowa).
- Zwarty podzbiór przestrzeni Hausdorffa jest domknięty.
- Dowód
Niech X będzie przestrzenią Hausdorffa, a jej zwartym podzbiorem.
Aby udowodnić, że A jest domknięty uzasadnimy, że jest otwarty. Wystarczy zatem udowodnić, że dla dowolnego istnieje otoczenie, które nie zawiera punktów ze zbioru A.
Niech , . Wówczas na mocy aksjomatu Hausdorffa istnieje otoczenie Vy punktu x oraz otoczenie Uy punktu y takie że .
Oczywiście rodzina stanowi otwarte pokrycie A. Na mocy zwartości A istnieje skończone podpokrycie . Każdy zbiór jest rozłączny z odpowiednim zbiorem . Zatem przekrój jest rozłączny z każdym ze zbiorów . Więc V jest otoczeniem x, które jest rozłączne z A. Z dowolności x wynika, że zbiór A jest domknięty.
- Zwarty podzbiór przestrzeni metrycznej jest ograniczony.
- Dowód
Niech A będzie zwartym podzbiorem przestrzeni metrycznej (X,d).
Należy udowodnić, że
Wykorzystamy fakt, że metryka jest ciągła. Obcięcie f = d | A jest ciągłe. Na mocy twierdzenia Weierstrassa (Własność 3) funkcja f jest ograniczona. Zatem . Czyli .
Wykazaliśmy, że zbiór f jest ograniczony.
- Ciągła bijekcja zwartej przestrzeni X na przestrzeń Hausdorffa Y jest homeomorfizmem.
- Dowód
Wystarczy wykazać, że obrazami zbiorów domkniętych są zbiory domknięte.
Niech jest domknięty, jest ciągłą bijekcją zwartej przestrzeni X w przestrzeń Hausdorffa Y.
Zatem A jest zwarty jako domknięty podzbiór przestrzeni zwartej. Stąd f(A) jest zwarty jako ciągły obraz zbioru zwartego. Więc f(A) jest domknięty jako zwarty podzbiór przestrzeni Hausdorffa.
- Przestrzeń metryczna X jest zwarta wtedy i tylko wtedy gdy każdy ciąg w tej przestrzeni zawiera podciąg zbieżny.
Jest to charakteryzacja zwartości w przestrzeni metrycznej.
- Każdy domknięty podzbiór przestrzeni zwartej jest zwarty.
- Zwarta przestrzeń Hausdorffa jest normalna.
[edytuj] Przestrzenie metryczne
Zwartość przestrzeni metrycznej można opisywać na wiele równoważnych sposobów. W przestrzeni euklidesowej (w szczególności w ) zwartość można zdefiniować w następujący sposób (twierdzenie Heinego-Borela):
- Zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.
Ogólniej, w przestrzeniach metrycznych szczególnie często korzysta się z następującej własności:
[edytuj] Przykłady
Stosując powyższą definicję od razu można podać przykłady przestrzeni zwartych i przestrzeni, które zwarte nie są:
- zwarty jest odcinek ,
- odcinek nie jest już zwarty (z powodu braku domkniętości): Rodzina zbiorów
- jest pokryciem odcinka (0,1) zbiorami otwartymi w (każdy punkt odcinka należy do któregoś ze zbiorów tej postaci), ale nie da się wybrać z niej skończonej liczby zbiorów, które pokryłyby cały odcinek (0,1).
- zwarta nie jest również cała prosta liczbowa .