가측함수

가측함수((영어):measurable function)란 측도공간 사이의 함수이다. 해석학에서 다루는 함수들 중에서 측정 가능하지 않은 함수의 경우 매우 비직관적이다.

만약 Σ가 집합 X에서의 σ-대수이고, Τ가 집합 Y에서의 σ-대수라 하면, Τ의 모든 집합의 원상(preimage)이 Σ의 원소일 때, 함수 f : X → Y가 Σ/Τ-측정가능(measurable Σ/Τ)이라 한다.

만약 Y가 실수 $\mathbb{R}$ 또는 복소수 $\mathbb{C}$ 의 위상공간이라면, Y의 열린 집합들로 생성된 보렐 σ-대수에서 생각한다. 이 때 측도공간 (X,Σ)을 보렐 공간(Borel space)으로 부르기도 한다.

만약, Τ, Σ 둘중 하나, 혹은 둘 다 명확한 경우에, f는 Σ-측정가능(Σ-measurable) 혹은 간단히 측정가능(measurable)이라 한다.

[편집] 가측함수의 특징

만약 (X, Σ), (Y, Τ)이 보렐공간이면, 가측함수 f을 보렐함수로 부르기도 한다. 연속함수는 보렐함수이지만, 모든 보렐함수가 연속은 아니다. 또한, 루진의 정리(Luzin's theorem)에 따르면 가측함수는 거의 연속함수이다.

정의에 따르면 확률변수는 표본공간에서의 가측함수이다.

만약 함수 f가 $Σ 1 / Σ 2$ -측정가능이고, 함수 g가 $Σ 2 / Τ$ -측정가능일 때, 합성함수 $g \circ f$ 는 $Σ 1 / T$ -측정가능이다. ^[1]

$\{x \in \R : f(x)>a \}$

은 르베그 측도로 측정 가능한 집합이다. f가 르베그 측도로 측정 가능한 함수라면, g가 음이 아닌 임의의 함수일 때 mid{-g,f,g}는 적분 가능하다. 그 역도 마찬가지로 성립한다. (즉, 필요충분조건이다.)

모든 함수가 가측함수는 아니다. 예를 들면, 만약 $A$ 가 $\R$ 에서의 불가측부분집합인 경우, 표시함수 $1 A (x)$ 는 불가측함수이다.

↑ Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. Wiley. ISBN 0-471-00710-2.