Канторова лестница
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции ![[0,1]\to [0,1]](../../../../math/3/4/b/34bfc4d9c5f0e53e6b7ea3ad4674baf2.png)
, которая не является константой, но при этом имеет производную равную нулю в почти всех точках.
[править] Построение
Рассмотрим функцию, равную 1/2 на [1 / 3,2 / 3], 1/4 на [1 / 9,2 / 9], 3/4 на [7 / 9,8 / 9] и так далее. На остальных точках единичного отрезка определим по непрерывности. Полученная функция называется канторовой лестницей.
[править] Свойства
- Производная Канторовой лестницы определена и равна нулю во всех точках кроме канторова множества.
- Канторова лестница непрерывна, ограниченной вариации, но не абсолютно непрерывна.
