Действие группы
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Говорят, что группа G действует на множестве M, если задан гомоморфизм из группы G в группу S(M) всех перестановок множества M. Для краткости (Φ(g))(m) часто записывают как gm.
Другими словами, группа G действует на множестве M, если задано отображение (обозначаемое ), такoe что
- (gh)m = g(hm) для всех , и
- em = m, где e есть единица G.
Содержание |
[править] Типы действий
- Свободное, если для любых различных и любого выполняется .
- Транзитивное если для любых существует такой, что gm = n. Другими словами, действие транзитивно, если Gm = M для любого элемента .
- Эффективное, если для любых существует такой, что .
[править] Орбиты
Подмножество
называется орбитой элемента .
Действие группы G на множестве M определяет на нём отношение эквивалентности
При этом классами эквивалентности являются орбиты элементов. Поэтому, если общее число классов эквивалентности равно k, то
- ,
где попарно неэквивалентны. Для транзитивного действия k = 1.
[править] Стабилизаторы
Подмножество
является подгруппой группы G и называется стабилизатором или стационарной подгруппой элемента .
Стабилизаторы элементов одной орбиты сопряжены, то есть если , то найдется такой элемент , что
[править] Количество элементов в орбите
- | Gm | = [G:Gm], где [G:Gm] — индекс подгруппы , в случае конечных групп равен .
Если , то
- — формула разложения на орбиты.
Эта формула также влечёт следующие тождества
[править] Примеры действий
[править] Действия на себе
[править] Слева
Действие на себе слева является наиболее простым примером действия, в этом случае, M = G и гомоморфизм задан как (Φ(g))(h) = gh.
[править] Справа
Аналогично определяется действие на себе справа, (Φ(g))(h) = hg - 1.
[править] Слева и справа
Эти два действия являются действиями подгрупп прямого произведения на M = G с гомоморфизмом заданым как .
[править] Сопряжениями
Пусть M = G и гомоморфизм задан как (Φ(g))(h) = ghg - 1. При этом для каждого элемента стабилизатор Gh совпадает с централизатором C(h):
- .
Например, для элемента h из центра группы G (т.е. ) имеем C(m) = G и Gh = G.
[править] Литература
- Винберг Э.Б. "Курс алгебры" - 3-е издание, М.: Издательство "Факториал Пресс", 2002, ISBN 5-88688-0607
- Кострикин А. И. "Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры": Учебник для вузов. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. - ISBN 5-9221-0489-6.