Teorema di Green

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In matematica il teorema di Green pone in relazione un integrale di linea attorno ad una curva chiusa semplice C e un integrale doppio sulla regione piana D limitata da C. Il teorema di Green deve il suo nome allo scienziato britannico George Green ed è un caso speciale del più generale teorema di Stokes. Il teorema afferma:

Sia C una curva chiusa semplice nel piano positivamente orientata regolare a tratti, e sia D la regione limitata da C. Se P e Q denotano due funzioni reali di due variabili reali che hanno le derivate parziali continue su una regione aperta che contiene D, allora

$\int_{C} (P dx + Q dy) = \int\!\!\!\int_{D} dA\, \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)$ .

Se accade che il punto iniziale ed il punto finale della curva coincidono, allora si preferisce utilizzare la notazione

$\oint_{C} (P dx + Q dy)$ .

Indice

1 Interpretazione
2 Dimostrazione del teorema di Green quando D è una regione semplice
3 Dimostrazione del teorema di Green in generale
4 Voci correlate

[modifica] Interpretazione

Se consideriamo un campo vettoriale $F$ su $\mathbb R^2$ definito da $F(x,y) := \langle Q(x,y),-P(x,y)\rangle$ , avremo che la quantità $\oint_{C} P dx + Q dy$ rappresenta l'integrale di $\mathbf F\cdot \mathbf n$ dove $\mathbf n$ è la normale esterna alla curva $C$ in ogni punto. Dunque tale integrale rappresenta il flusso del campo $F$ attraverso la curva $C$ . D'altra parte $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ è la divergenza di $F$ . Quindi l'uguaglianza stabilita dal teorema ci dice che integrando la divergenza nell'interno della curva otteniamo il flusso che attraversa la curva. Questo è ciò che afferma il teorema della divergenza.

[modifica] Dimostrazione del teorema di Green quando D è una regione semplice

Il teorema di Green si dimostra se si provano le due equazioni seguenti:

[1] $\qquad \int_{C} P dx = \int\!\!\!\int_{D} \left(- \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA$

[2] $\qquad \int_{C} Q dy = \int\!\!\!\int_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}\right) dA$ .

Se esprimiamo D come la regione

$D := \{ (x,y)|a\le x\le b, g_1(x) \le y \le g_2(x) \}$

dove g₁ e g₂ sono funzioni continue, possiamo calcolare l'integrale doppio dell'equazione 1:

[4] $\qquad \int\!\!\!\int_{D} \left(\frac{\partial P}{\partial y}\right) dA = \int_a^b\!\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \left(\frac{\partial P}{\partial y} (x,y) dy dx \right) = \int_a^b [P(x,g_2(x)) - P(x,g_1(x))] dx$ .