Divergenza

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Nell'analisi matematica la divergenza è un operatore che misura la tendenza di un campo vettoriale a divergere o a convergere verso un punto del campo. Per esempio in un campo vettoriale (a due dimensioni) che rappresenta la velocità dell'acqua contenuta in una vasca da bagno che si sta svuotando la divergenza avrebbe un valore negativo nella prossimità dello scarico dato che in quel punto l'acqua sparisce. Lontano dallo scarico la divergenza avrebbe un valore prossimo allo zero dato che in quei punti la velocità dell'acqua sarebbe quasi costante. Se supponiamo l'acqua incomprimibile, in una regione in cui non ci sono né pozzi in cui essa viene scaricata né sorgenti d'acqua, la divergenza del campo delle velocità sarà ovunque nulla. Un campo vettoriale con divergenza nulla ovunque viene definito solenoidale.

Indice

1 Definizione
2 Definizione integrale
3 Proprietà
- 3.1 Divergenza del rotore
4 Divergenza in altri sistemi di coordinate
5 Voci correlate

[modifica] Definizione

Definendo x, y, z le variabili che rappresentano le coordinate di uno spazio euclideo a tre dimensioni e definiti i, j, k i corrispettivi versori.

La divergenza di un campo vettoriale continuo e differenziabile

$\vec{F} = F_1 \mathbf i + F_2 \mathbf j+F_3 \mathbf k$

è "definita" (propriamente la seguente è la rappresentazione in coordinate cartesiane dell'operatore) come la funzione scalare

$\operatorname{div} \, \vec{F} = \nabla \cdot \vec{F} =\frac{\partial F_1}{\partial x} +\frac{\partial F_2}{\partial y} +\frac{\partial F_3}{\partial z}$

Nella notazione $\nabla \cdot \vec{F}$ il punto rappresenta l'operazione di prodotto scalare tra l'operatore nabla ed il campo $\mathbf F$ (il grassetto può essere un altro modo per indicare un campo vettoriale): dalle definizioni dei due operandi e dalla definizione di prodotto scalare è semplice verificare che il risultato è proprio $\operatorname{div}\,\mathbf{F}$ .

[modifica] Definizione integrale

Ponendo per definizione la divergenza come:

$\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \lim_{V \to 0} \frac{1}{V} \oint_{\partial{V}} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} dS$

cioè il limite, su un volume generico, tra il rapporto tra il volume stesso ed il flusso del vettore su tutta la superficie.

Con questa definizione la divergenza viene ad assumere significato di derivata spaziale di un campo vettoriale come rapporto incrementale su un insieme di definizione che tende a zero. Il valore nullo riesce allora a descrivere la conservatività del campo quando questo rappresenta un campo di velocità.

[modifica] Proprietà

[modifica] Divergenza del rotore

La divergenza del rotore di qualsiasi campo vettoriale derivabile due volte è sempre pari a 0.

Infatti, sia F un campo vettoriale di classe C²:

$\begin{align} \nabla \cdot (\nabla \times \vec F) &= \nabla \cdot \left( \frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z} \quad \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x} \quad \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) = \\ &= \frac{\partial^{2} F_3}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^{2} F_2}{\partial x \partial z} + \frac{\partial^{2} F_1}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^{2} F_3}{\partial y \partial x} + \frac{\partial^{2} F_2}{\partial z \partial x} - \frac{\partial^{2} F_1}{\partial z \partial y} = \\ &= \frac{\partial^{2} F_1}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^{2} F_1}{\partial z \partial y} + \frac{\partial^{2} F_2}{\partial z \partial x} - \frac{\partial^{2} F_2}{\partial x \partial z} + \frac{\partial^{2} F_3}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^{2} F_3}{\partial y \partial x} = 0 \\ \end{align}$

Poiché la funzione è di classe C², secondo il teorema di Schwarz le derivate miste sommandosi si annullano (se sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Schwarz, infatti, l'ordine di derivazione è indifferente).

[modifica] Divergenza in altri sistemi di coordinate

La definizione che abbiamo dato di divergenza come somma delle derivate parziali è relativa al sistema di riferimento cartesiano. Se utilizziamo altri sistemi di riferimento la divergenza non può più essere calcolata come somma delle derivate parziali calcolate rispetto alle nuove coordinate. Vediamo nel dettaglio come viene espressa nei principali sistemi di riferimento del piano e dello spazio.

[modifica] Divergenza in coordinate polari piane

Coordinate polari

In $\R^2$ possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quello polare:

$\begin{cases} x = \rho \cos \phi \\ y = \rho \, \mathrm{sen} \, \phi \end{cases}$

Dove ρ rappresenta la coordinata radiale, mentre φ rappresenta la coordinata angolare.

Supponendo di voler eseguire la divergenza di una funzione vettoriale:

$\vec{F}(\rho \, ; \phi) = F_{\rho} \, \mathbf{e}_{\rho} + F_{\phi} \, \mathbf{e}_{\phi}$

potremo scrivere il prodotto scalare delle due grandezze vettoriali:

$\nabla \cdot \vec{F} = \left( \mathbf{e}_{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} + \mathbf{e}_{\phi} \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \phi} \right) \cdot \left( F_{\rho} \, \mathbf{e}_{\rho} + F_{\phi} \, \mathbf{e}_{\phi} \right)$

avendo ricordato che:

$\left( d \vec{l} \, \right)_\hat{\rho} = d\rho \qquad \left( d \vec{l} \, \right)_\hat{\phi} = \rho \, d\phi$ .

Eseguendo il prodotto si ottiene:

$\nabla \cdot \vec{F} = \mathbf{e}_{\rho} \left( \frac{\partial F_{\rho}}{\partial \rho} \, \mathbf{e}_{\rho} + F_{\rho} \frac{\partial \, \mathbf{e}_{\rho}}{\partial \rho} + \frac{\partial F_{\phi}}{\partial \rho} \, \mathbf{e}_{\phi} + F_{\phi} \frac{\partial \, \mathbf{e}_{\phi}}{\partial \rho} \right) \, +$

$+ \, \frac{1}{\rho} \, \mathbf{e}_{\phi} \left( \frac{\partial F_{\rho}}{\partial \phi} \, \mathbf{e}_{\rho} + F_{\rho} \frac{\partial \, \mathbf{e}_{\rho}}{\partial \phi} + \frac{\partial F_{\phi}}{\partial \phi} \, \mathbf{e}_{\phi} + F_{\phi} \frac{\partial \, \mathbf{e}_{\phi}}{\partial \phi} \right)$ .

A questo punto si nota che due delle quattro derivate dei versori sono nulle. Infatti al variare di ρ il versore $\mathbf{e}_{\rho}$ non cambia di orientazione (né di modulo, essendo un versore) e la sua derivata rispetto a ρ sarà di conseguenza nulla. Allo stesso modo $\mathbf{e}_{\phi}$ non varierà al variare di ρ. Le restanti due derivate invece si trovano:

$\frac{\partial \mathbf{e}_{\rho}}{\partial \phi} = \frac{\partial}{\partial \phi} \left( \cos \phi \, \mathbf{e}_x + \mathrm{sen} \, \phi \, \mathbf{e}_y \right) = - \, \mathrm{sen} \, \phi \, \mathbf{e}_x + \cos \phi \, \mathbf{e}_y = \mathbf{e}_{\phi}$

$\frac{\partial \, \mathbf{e}_{\phi}}{\partial \phi} = \frac{\partial}{\partial \phi} \left( - \mathrm{sen} \, \phi \, \mathbf{e}_x + \cos \phi \, \mathbf{e}_y \right) = - \cos \phi \, \mathbf{e}_x - \mathrm{sen} \, \phi \, \mathbf{e}_y = - \mathbf{e}_{\rho}$

e sostituendo:

$\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_{\rho}}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \left( F_{\rho} + \frac{\partial F_{\phi}}{\partial \phi} \right)$

la divergenza in coordinate polari diventa quindi lo scalare:

$\operatorname{div} \, \vec{F}(\rho\,;\phi) = \vec \nabla \cdot \vec{F}(\rho\,;\phi) = \frac{1}{\rho} \frac {\partial \! \left( \rho F_{\rho} \right)}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial F_{\phi}}{\partial \phi}$

[modifica] Divergenza in coordinate sferiche

Coordinate sferiche

In $\R^3$ possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come le coordinate sferiche:

$\begin{cases} x = \rho \, \mathrm{sen} \, \theta \cos \phi \\ y = \rho \, \mathrm{sen} \, \theta \, \mathrm{sen} \, \phi \\ z = \rho \cos \theta \end{cases}$

Dove ρ rappresenta la coordinata radiale, φ rappresenta la coordinata angolare dall'asse x e θ rappresenta la coordinata angolare dall'asse z. Analogamente al caso precedente, basterà proiettare il differenziale sulle nuove coordinate:

$\left( d \vec{l} \right)_\hat{\rho} = d\rho \qquad \left( d \vec{l} \right)_\hat{\phi} = \rho \, d\phi \qquad \left( d \vec{l} \right)_\hat{\theta} = \rho \, \mathrm{sen} \theta \, d\phi$

Quindi se:

$\vec{F}(\rho,\theta,\phi) = F_{\rho} \ \hat{\rho} + F_{\theta} \ \hat{\theta} + F_{\phi} \ \hat{\phi}$

la divergenza in coordinate sferiche diventa lo scalare:

$\operatorname{div}\,\vec{F}(\rho,\theta,\phi) = \vec \nabla \cdot \vec{F}(\rho,\theta,\phi) =$

$= \frac {1}{\rho^2} \frac {\partial (\rho^2 \, F_{\rho})}{\partial \rho} + \frac {1}{\rho \, \mathrm{sen} \, \theta} \frac {\partial (\mathrm{sen} \, \theta \ F_{\theta})}{\partial \theta} + \frac {1}{\rho \, \mathrm{sen} \, \theta} \frac {\partial F_{\phi}}{\partial \phi}$

[modifica] Divergenza in coordinate cilindriche

Coordinate cilindriche

In $\R^3$ possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quelle cilindriche:

$\begin{cases} x = \rho \cos \phi \\ y = \rho \, \mathrm{sen} \, \phi \\ z = z \end{cases}$

Allora se $\mathbf{F}(\rho,\phi,z) = F_{\rho} \ \mathbf{e}_{\rho} + F_{\phi} \ \mathbf{e}_{\phi} + F_{z} \ \mathbf{e}_{z}$ , la divergenza in coordinate cilindriche diventa lo scalare:

$\operatorname{div} \, \mathbf{F}(\rho,\phi,z) = \vec \nabla \cdot \mathbf{F}(\rho,\phi,z) =$

$= \frac {1}{\rho} \frac {\partial (\rho F_{\rho})}{\partial \rho} + \frac {1}{\rho} \frac {\partial F_{\phi}}{\partial \phi} + \frac {\partial F_z}{\partial z}$