Prodotto scalare

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In matematica, il prodotto scalare è una particolare operazione binaria che prende due vettori e restituisce un numero (che in generale è detto appunto scalare). Questa nozione nel piano cartesiano mette in relazione due vettori e le loro lunghezze con l'angolo fra questi. Più in generale, è usata per definire e trattare le nozioni geometriche di lunghezza, angolo e perpendicolarità in spazi vettoriali di dimensione arbitraria.

Il prodotto scalare è uno strumento fondamentale in tutti i contesti in cui vi siano dei vettori: in fisica è ad esempio usato per modellizzare il lavoro di una forza. Esteso in dimensione finita arbitraria, il prodotto scalare ha applicazioni in vari settori della matematica: nella classificazione delle coniche, nello studio di una funzione differenziabile intorno ad un punto stazionario, delle trasformazioni del piano o nella risoluzione di alcune equazioni differenziali. Spesso in questi contesti viene fatto uso del teorema spettrale, un importante risultato connesso al prodotto scalare.

Esteso in dimensione infinita, il prodotto scalare è usato per definire concetti quali lo spazio di Hilbert e di Banach: per questi spazi la teoria si arricchisce di strumenti più sofisticati, basilari nella modellizzazione della meccanica quantistica e in molti campi dell'analisi funzionale.

[modifica] Definizione e prime proprietà

[modifica] Definizione

Il prodotto scalare di due vettori a e b del piano, applicati sullo stesso punto, è definito come

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf a| \, |\mathbf b| \cos \theta \;$

dove |a| e |b| sono le lunghezze di a e b, e θ è l'angolo tra i due vettori. Il prodotto scalare si indica come a·b.

[modifica] Interpretazione geometrica

Interpretazione geometrica del prodotto scalare

Poiché |a|·cos(θ) è la lunghezza della proiezione ortogonale di a su b, si può interpretare geometricamente il prodotto scalare come il prodotto delle lunghezze di questa proiezione e di b. Si possono inoltre scambiare i ruoli di a e b, interpretare |b|·cos(θ) come la lunghezza della proiezione di b su a ed il prodotto scalare come il prodotto delle lunghezze di questa proiezione e di a.

[modifica] Prodotto scalare positivo, nullo e negativo

Il coseno di un angolo θ è positivo se θ è un angolo acuto (cioè -90° <θ < 90°), nullo se θ è un angolo retto e negativo se è un angolo ottuso. Ne segue che il prodotto scalare a·b è:

positivo se |a| > 0, |b| >0 e l'angolo θ è acuto;
nullo se |a|=0, |b|=0 oppure θ è retto;
negativo se |a|>0, |b|>0 è l'angolo θ è ottuso.

I casi in cui θ è acuto ed ottuso sono mostrati in figura. In entrambi i casi il prodotto scalare è calcolato usando l'interpretazione geometrica, ma il segno è differente.

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |AB| \times |AH|>0$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -|AB| \times |AH|<0$

In particolare, valgono inoltre le proprietà seguenti:

se θ = 0 i vettori sono paralleli ed a·b = |a|·|b|;
se θ = 90° i vettori sono ortogonali ed a·b = 0;
se θ = 180° i vettori sono paralleli ma orientati in senso opposto, ed a·b = - |a|·|b|.

Se a e b sono versori, cioè vettori di lunghezza 1, il loro prodotto scalare è semplicemente il coseno dell'angolo compreso.

Il prodotto scalare di un vettore a con se stesso a·a = |a|² è il quadrato della lunghezza |a| del vettore.

[modifica] Applicazioni

[modifica] In fisica

Il lavoro è il prodotto scalare fra i vettori

F

u

Nella fisica classica, il prodotto scalare è usato nei contesti in cui si debba calcolare la proiezione di un vettore lungo una determinata componente. Ad esempio, il lavoro $L$ prodotto da una forza $F$ su un corpo che si sposta in direzione $u$ è il prodotto scalare

$L = F\cdot u$

dei due vettori.

[modifica] In geometria

Il teorema del coseno può essere formulato agevolmente usando il prodotto scalare. Dati tre punti $A, B, C$ qualsiasi del piano, vale la relazione seguente:

$\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} = \frac12 \Big(|AB|^2 + |AC|^2 - |BC|^2 \Big)$

[modifica] Espressione analitica

Il prodotto scalare è definito in geometria analitica in modo differente: si tratta della funzione che, in un qualsiasi spazio euclideo associa a due vettori a = [a₁, a₂, … , a_n] e b = [b₁, b₂, … , b_n] il numero

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n = \sum_{i=1}^n a_ib_i$

dove Σ denota una sommatoria.

Ad esempio, il prodotto scalare di due vettori tridimensionali [1, 3, −2] e [4, −2, −1] è [1, 3, −2]·[4, −2, −1] = 1×4 + 3×(−2) + (−2)×(−1) = 0.

In questo modo è possibile definire l'angolo θ compreso fra due vettori in un qualsiasi spazio euclideo, invertendo la formula data sopra, facendo cioè dipendere l'angolo dal prodotto scalare e non viceversa:

$\theta = \arccos\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf a||\mathbf b|}.$

[modifica] Notazioni

Spesso il prodotto scalare fra a e b si indica anche come $\scriptstyle \langle \mathbf a, \mathbf b\rangle$ o come $\scriptstyle \left(\mathbf a, \mathbf b\right)$ .

Utilizzando il prodotto tra matrici e considerando i vettori come matrici $\scriptstyle n \times 1$ , il prodotto scalare canonico si scrive anche come

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^T\mathbf {b}$

dove a^T è la trasposta di a. L'esempio visto sopra si scrive quindi in notazione matriciale nel modo seguente:

$\begin{bmatrix}1&3&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4\\-2\\-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\end{bmatrix}.$

[modifica] Equivalenza fra le due definizioni

L'equivalenza fra le due definizioni può essere verificata facendo uso del teorema del coseno. Nella forma descritta sopra, il teorema asserisce che il prodotto scalare di due vettori a e b nel piano, definito in modo geometrico, è pari a

$\mathbf a \cdot \mathbf b = \frac 12 \big(|\mathbf a|^2 + |\mathbf b|^2 - |\mathbf a-\mathbf b|^2\big).$

Ponendo a = [a₁, a₂] e b = [b₁, b₂] ed usando il teorema di Pitagora di ottiene

$\mathbf a \cdot \mathbf b = \frac 12 \bigg(a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 -\big( (a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2\big)\bigg) = \frac 12 (2a_1b_1 + 2a_2b_2) = a_1b_1 + a_2b_2.$

L'equivalenza in uno spazio euclideo di dimensione arbitraria può essere verificata in modo analogo.

[modifica] Proprietà algebriche

Il prodotto scalare fra vettori dello spazio euclideo soddisfa un certo numero di proprietà algebriche.

[modifica] Simmetria e bilinearità

Il prodotto scalare è una funzione di due variabili simmetrica; vale cioè l'uguaglianza

$\mathbf a\cdot \mathbf b = \mathbf b\cdot \mathbf a$

per ogni coppia di vettori a e b.

Il prodotto scalare è anche bilineare, valgono cioè le relazioni:

$\mathbf a\cdot (\mathbf b+\mathbf c) = \mathbf a\cdot \mathbf b + \mathbf a\cdot \mathbf c,$
$\mathbf a\cdot(\lambda \mathbf b) = \lambda(\mathbf a\cdot\mathbf b),$
$(\mathbf a+\mathbf b)\cdot \mathbf c = \mathbf a\cdot \mathbf c + \mathbf b\cdot \mathbf c,$
$(\lambda\mathbf a)\cdot \mathbf b = \lambda(\mathbf a\cdot\mathbf b),$

per ogni tripletta di vettori a, b, c e per ogni numero reale $λ$ . Le prime due relazioni esprimono la "linearità a destra" e le altre due "a sinistra".

Tutte queste proprietà sono espresse sinteticamente affermando che il prodotto scalare è una forma bilineare simmetrica.

[modifica] Definito positivo

Il prodotto scalare di un vettore con se stesso è sempre maggiore o uguale a zero:

$\mathbf a \cdot \mathbf a = |\mathbf a|^2\geqslant 0.$

Inoltre, questo è zero solo se il vettore è zero:

$\mathbf a \cdot \mathbf a =|\mathbf a|^2 = 0 \Leftrightarrow \mathbf a = 0.$

Questa proprietà può essere espressa affermando che il prodotto scalare è definito positivo.

[modifica] Generalizzazioni

La nozione di prodotto scalare è generalizzata in algebra lineare dallo spazio euclideo ad uno spazio vettoriale qualsiasi: tale spazio può avere dimensione infinita ed essere definito su un campo arbitrario K. Questa generalizzazione è di fondamentale importanza ad esempio in geometria differenziale e in meccanica razionale. Dotata di ulteriore struttura, porta inoltre ai concetti di spazio di Hilbert e spazio di Banach, usati in vari rami della matematica e della fisica, quali ad esempio la meccanica quantistica e l'analisi funzionale.

Il prodotto scalare in questo contesto è una funzione che associa ad una coppia di vettori un numero (uno scalare), con determinate proprietà.

[modifica] Prodotto scalare su spazio vettoriale qualsiasi

Per approfondire, vedi la voce forma bilineare simmetrica.

In matematica, e soprattutto in algebra lineare, il prodotto scalare è un operatore binario su uno spazio vettoriale V con campo K che si comporta in modo simile al prodotto scalare canonico nello spazio euclideo.

Più precisamente, un prodotto scalare su V è una forma bilineare simmetrica, che associa a due vettori v e w di V uno scalare in K, generalmente indicato con $\langle v,w\rangle$ . Spesso alcuni autori richiedono anche che il campo K sia quello dei numeri reali e che la forma sia definita positiva, cioè che

$\langle v,v\rangle > 0$

per ogni v diverso da zero. Per rimanere nella più ampia generalità, scegliamo di non assumere questa ipotesi nella definizione di prodotto scalare.

Riassumendo, un prodotto scalare è un operatore binario che verifica le seguenti condizioni per v, w, u vettori arbitrari e k elemento del campo K arbitrario:

$\langle v, w\rangle = \langle w, v\rangle$
$\langle v+w, u\rangle = \langle v, u\rangle + \langle w, u\rangle$
$\langle kv, w\rangle = k\langle v, w\rangle$

Le precedenti richieste implicano anche le seguenti proprietà:

$\langle v, w + u\rangle = \langle v, w \rangle + \langle v, u \rangle$
$\langle v, kw \rangle = k\langle v, w\rangle$
$\langle 0, 0 \rangle = 0$

[modifica] Definiti positivi e negativi

Nel caso in cui K = R è il campo dei numeri reali, un prodotto scalare su uno spazio vettoriale V è:

definito positivo se $\langle v,v\rangle > 0 \qquad \forall v \neq 0\,\!;$
definito negativo se $\langle v,v\rangle < 0 \qquad \forall v \neq 0\,\!;$
semi-definito positivo se $\langle v,v\rangle \geq 0 \qquad \forall v\,\!;$
semi-definito negativo se $\langle v,v\rangle \leq 0 \qquad \forall v\,\!.$

Queste definizioni non hanno senso se K è un campo non ordinato, ad esempio se K = C. Per questo motivo, per K = C si preferisce solitamente usare una variante del prodotto scalare, definita in modo che $\langle v,v\rangle$ sia sempre un numero reale: la forma hermitiana. Tale forma, molto usata in fisica, conserva molte analogie con il prodotto scalare, e per questo è alcune volte chiamata impropriamente anch'essa prodotto scalare.

Il prodotto scalare definito positivo è chiamato anche prodotto scalare euclideo: un esempio basilare è proprio lo spazio euclideo Rⁿ. Un prodotto scalare semi-definito positivo è (raramente) chiamato anche prodotto pseudoscalare.

[modifica] Norma di un vettore

Per approfondire, vedi la voce norma (matematica).

Se K=R ed il prodotto scalare è definito positivo, è possibile dotare lo spazio vettoriale di una norma; più precisamente, la funzione

$\|x\|:=\sqrt {\langle x,x \rangle}$

soddisfa per ogni vettori x, y e per ogni scalare $λ$ le proprietà

$\|x\|=0$ se e solo se $x = 0$
$\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|$
$\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$

e dunque rende lo spazio vettoriale uno spazio normato.

[modifica] Matrice associata

In modo analogo alla matrice associata ad una applicazione lineare, fissata una base $v_1, \ldots, v_n$ , un prodotto scalare φ è identificato dalla matrice simmetrica associata M, definita nel modo seguente:

M i, j = φ(v i, v j).

D'altro canto, ogni matrice simmetrica da luogo ad un prodotto scalare. Vediamo più sotto che molte proprietà del prodotto scalare e della base possono essere lette sulla matrice associata.

[modifica] Radicale

Il radicale di un prodotto scalare è l'insieme dei vettori v in V per cui

$\langle v, w\rangle = 0$

per ogni w in V. Il radicale è un sottospazio vettoriale di V. Il prodotto scalare si dice degenere se il radicale ha dimensione maggiore di zero.

Se V ha dimensione finita e M è la matrice associata a φ rispetto ad una qualsiasi base, applicando il teorema della dimensione si trova facilmente che:

$\textrm{rk}(M) + \dim\textrm{rad}(V) = \dim V.$

dove rk(M) è il rango di M e rad(V) è il radicale. Quindi un prodotto scalare è non degenere se e solo se la matrice associata è invertibile. Definiamo quindi il rango del prodotto scalare come rk(M).

Un prodotto scalare definito positivo o negativo è necessariamente non degenere. Non è vero il contrario: infatti il prodotto scalare sul piano associato (rispetto alla base canonica) alla matrice

$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix}$

non è degenere, ma non è né definito positivo né definito negativo.

[modifica] Vettori isotropi

Un vettore v è isotropo se $\langle v, v \rangle$ = 0. Tutti i vettori del radicale sono isotropi, ma possono esistere vettori isotropi che non appartengono al radicale. Ad esempio, per il prodotto scalare associato alla matrice A descritta sopra il vettore $[1,1]$ è isotropo ma non è contenuto nel radicale, che ha dimensione zero.

[modifica] Ortogonalità

Due vettori v e w si dicono ortogonali se $\langle v,w \rangle = 0$ . Il sottospazio ortogonale ad un sottospazio W di V è definito come

$W^\perp = \{w \in V\ | \langle w,w' \rangle = 0\ \forall w'\in W\}$

Il sottospazio ortogonale è appunto un sottospazio vettoriale di V. Contrariamente a quanto accade con il prodotto canonico nello spazio euclideo, un sottospazio ed il suo ortogonale non si intersecano in un punto solo: possono addirittura coincidere! Per quanto riguarda le loro dimensioni, vale la seguente disuguaglianza:

$\dim W + \dim W^\perp \geq \dim V$

Se il prodotto scalare è non degenere, vale l'uguaglianza

$\dim W + \dim W^\perp = \dim V$

Infine, se il prodotto scalare è definito positivo o negativo, effettivamente uno spazio ed il suo ortogonale si intersecano solo nell'origine e sono in somma diretta: otteniamo cioè

$W \oplus W^\perp = V.$

Una base ortogonale di vettori di V è una base di vettori a due a due ortogonali. Una base è ortogonale se e solo se la matrice associata al prodotto scalare rispetto a questa base è diagonale.

[modifica] Isometria

Per approfondire, vedi la voce isometria.

Una isometria è una applicazione lineare invertibile T:V → V in sé che preserva il prodotto scalare, cioè tale che

$\langle v,w \rangle = \langle T(v),T(w) \rangle$

Due spazi vettoriali dotati di prodotto scalare sono isometrici se esiste una isometria fra loro.

[modifica] Teorema di Sylvester

Per approfondire, vedi la voce teorema di Sylvester.

Se K = R è il campo dei numeri reali e V ha dimensione n, il teorema di Sylvester reale dice che per ogni prodotto scalare esiste una base ortogonale v₁, ..., v_n tale che per ogni i il numero $\langle v_i,v_i \rangle$ è uguale a 0, 1 oppure -1.

Quindi la matrice associata è una matrice diagonale avente sulla diagonale solo i numeri 0, 1, e -1, in ordine sparso. Siano i₀, i₊ e i_- rispettivamente il numero di volte che compaiono i numeri 0, 1 e -1 sulla diagonale: la terna (i₀, i₊ e i_-) è la segnatura del prodotto scalare.

La segnatura è un invariante completo per l'isometria: due spazi vettoriali con prodotto scalare sono isometrici se e solo se hanno la stessa segnatura.

Il Teorema di Sylvester complesso dice invece che esiste sempre una base ortogonale v₁, ..., v_n tale che per ogni i il numero $\langle v_i,v_i \rangle$ è uguale a 0 oppure 1. In questo caso, il rango è un invariante completo per l'isometria: due spazi vettoriali complessi con prodotto scalare sono isometrici se e solo se hanno lo stesso rango.

[modifica] Endomorfismo simmetrico

Per approfondire, vedi la voce teorema spettrale.

Un endomorfismo T:V → V è simmetrico (o autoaggiunto) rispetto al prodotto scalare se

$\langle T(v), w \rangle = \langle v, T(w)\rangle$

per ogni coppia di vettori v e w in V. Un endomorfismo è simmetrico se e solo se la matrice associata rispetto ad una qualsiasi base ortonormale è simmetrica.

[modifica] Esempi

Il prodotto scalare canonico fra vettori del piano o dello spazio euclideo è un prodotto scalare definito positivo.
Sia C([0, 1]) lo spazio vettoriale delle funzioni continue sull'intervallo [0,1], a valori reali. Definiamo un prodotto scalare su C[0, 1] ponendo: :

$\langle f,g\rangle = \int_0^1 f(x)g(x).$

Questo prodotto scalare è definito positivo, perché l'integrale di f² è strettamente positivo se f non è costantemente nulla.
Definiamo sullo spazio vettoriale M([0, 1]) delle funzioni misurabili a valori reali lo stesso prodotto scalare del punto precedente. Qui il prodotto scalare è solo semidefinito positivo: infatti se f è la funzione che vale 1 su 1/2 e 0 su tutto il resto, l'integrale di f² è zero (f è isotropa).

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*19 giugno — [[Prodotto scalare]] — ~~~~

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#define NMAX 5
 
double prodottoScalare(double x[NMAX], double p[NMAX]) {
        int i;
        double sum=0;
        for(i=0; i < NMAX; i++) {
                sum += x[i]*p[i];
        }
        return sum;
}

[modifica] Voci correlate

[modifica] Bibliografia

Serge Lang. Linear Algebra. 3rd edition. New York, Springer, 1987. ISBN 0-387-96412-6

Algebra lineare

Spazio vettoriale: Applicazione lineare · Base · Teorema della dimensione · Formula di Grassmann · Teorema di Rouché-Capelli · Rango · Determinante
Diagonalizzabilità: Autovettore e autovalore · Polinomio caratteristico · Polinomio minimo · Forma canonica di Jordan
Prodotto scalare: Forma bilineare · Spazio euclideo · Base ortonormale · Gram-Schmidt · Forma hermitiana · Teorema spettrale

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