Sezione conica

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In matematica, e in particolare in geometria analitica e in geometria proiettiva, con sezione conica, o semplicemente conica, si intende genericamente una curva piana che sia luogo dei punti ottenibili intersecando la superficie di un cono circolare retto con un piano.

Le sezioni coniche sono state studiate accuratamente in epoca ellenistica, in particolare da Apollonio di Perga intorno al 200 a.C.; questi diede anche i nomi tuttora in uso per i tre tipi fondamentali di sezioni coniche: ellisse (il cerchio ne è un caso degenere), parabola e iperbole.

Indice

1 Tipi di sezioni piane di un cono
2 Coniche ed equazioni quadratiche
- 2.1 Eccentricità
3 Semiasse e coordinale polari
4 Applicazioni
5 Sfere di Dandelin
6 Derivazione
7 Voci correlate
8 Altri progetti
9 Collegamenti esterni

[modifica] Tipi di sezioni piane di un cono

Consideriamo il cono circolare retto costituito dalle rette generatrici che con il suo asse formano un angolo di ampiezza θ. Ricordiamo che i punti del cono si tripartiscono in tre sottoinsiemi: uno costituito solo dal suo vertice e due sottinsiemi separatamente connessi dette falde o nappe. Le ellissi si ottengono intersecando il cono con piani che con il suo asse formano angoli maggiori di θ e minori o uguali a π/2; ciascuna di tali intersezioni appartiene ad una sola delle due falde del cono ed è una curva chiusa. Le circonferenze sono casi particolari di ellissi ottenute dalla intersezione del cono con un piano perpendicolare al suo asse. Il fatto di essere curve chiuse rende le ellissi e le circonferenze facilmente visualizzabili. Se si interseca il cono con un piano parallelo a una sua retta generatrice si ottiene una conica chiamata parabola; ogni parabola appartiene ad una sola delle falde del cono e non è una curva chiusa. Infine intersecando il cono con piani che formano con il suo asse angoli inferiori a θ si determinano curve aperte (e illimitate) chiamate iperboli; questi piani intersecano entrambe le falde del cono ed ogni iperbole, in quanto insieme di punti, si bipartisce in due sottoinsiemi connessi detti rami della conica.

Le curve precedenti sono dette coniche non degeneri. Vi sono poi le cosiddette coniche degeneri ottenute servendosi di piani che passano per il vertice del cono: si distinguono i tre casi che seguono.

Se si interseca il cono con un piano che con l'asse forma un angolo superiore a θ si ottiene un semplice punto, il vertice del cono.

Se si interseca il cono con un piano che con l'asse forma un angolo uguale ad θ si ottiene una linea retta, una generatice del cono.

Se si interseca il cono con un piano che con l'asse forma un angolo inferiore ad θ si ottiene una coppia di rette che coincidono con due generatrici del cono; esse hanno come bisettrice la retta intersezione del piano secante con il piano ad esso ortogonale e passante per l'asse del cono.

[modifica] Coniche ed equazioni quadratiche

Il grafico di ogni equazione quadratica in due variabili reali, se i coefficienti soddisfano determinate condizioni che preciseremo, individua una sezione conica di un piano cartesiano, cioè di un piano riferito ad un sistema di coordinate cartesiane. Si trova inoltre che tutte le sezioni coniche si possono ottenere in questo modo.

Se si considera l'equazione quadratica nella forma

$ax^2 + 2hxy + by^2 +2gx + 2fy + c = 0\;$ ,

Visualizzazioni delle sezioni coniche

si ha la seguente casistica:

se h² = ab , l'equazione rappresenta una parabola;
se h² < ab e a b e/o h0 , l'equazione determina una ellisse;
- se h² < ab e a = b e h = 0 , l'equazione esprime una circonferenza;
se h² > ab, l'equazione rappresenta una iperbole;
- se a + b = 0 , l'equazione rappresenta una iperbole rettangolare.

[modifica] Eccentricità

Una definizione alternativa delle sezioni coniche parte con un punto F (con il ruolo di fuoco), una retta L (la direttrice) non contenente F e un numero non negativo e (la eccentricità). A tali enti si fa corrispondere la sezione conica consistente in tutti i punti la cui distanza da F è uguale al prodotto di e per la rispettiva distanza da L. Per 0 < e < 1 si ottiene un'ellisse, per e = 1 una parabola e per e > 1 una iperbole.

Per una ellisse e una iperbole si possono assumere due coppie fuoco + direttrice, ciascuna fornendo la stessa intera curva. La distanza del centro dalla direttrice è ${a}\over{e}$ , dove $a$ denota il semiasse maggiore dell'ellisse, oppure la distanza del centro da ciascuno dei punti di distanza minima dell'iperbole. La distanza del centro da un fuoco è $a e$ .

Nel caso della circonferenza t = 0 e si deve immaginare la retta direttrice a distanza infinita dal fuoco (retta all'infinito del piano). Questo caso non si può trattare a partire dalla richiesta che la circonferenza sia il luogo dei punti la cui distanza dal centro sia e volte la distanza da L, in quanto si avrebbe una forma indeterminata della forma zero per infinito; questo caso va trattato come caso limite di ellissi.

Si può dunque affermare che l'eccentricità di una sezione conica dia una misura di quanto essa si allontani dall'essere circolare.

Per una data lunghezza $a$ del semiasse maggiore, quanto più $e$ si avvicina a 1, tanto più piccolo è il semiasse minore.

[modifica] Semiasse e coordinale polari

Semilato retto di un'ellisse

Si definisce semilato retto di una sezione conica C un segmento ortogonale all'asse maggiore che ha una estremità nel suo fuoco singolo o in uno dei suoi due fuochi e l'altra in un punto della C; la sua lunghezza di solito si denota con l. Questa grandezza viene collegata alle lunghezze dei semiassi a e b dall'uguaglianza $a l = b 2$ .

In coordinate polari, una sezione conica con un fuoco nell'origine e, se dotata di un secondo fuoco, con questo sul semiasse positivo delle x, è determinata dall'equazione

$r (1 - e \cos \theta) = l. \,$

[modifica] Applicazioni

Le sezioni coniche sono importanti in astronomia: le orbite di due corpi (con masse elevate) che interagiscono secondo secondo la legge di gravitazione universale sono sezioni coniche rispetto al loro comune centro di massa considerato a riposo. Se tra di loro si esercita una attrazione sufficiente, entrambi percorrono un'ellisse; se l'ettrazione reciproca è insufficiente si muovono con la possibilità di allontanarsi illimitatamente percorrendo entrambi parabole o iperboli. Si veda in proposito problema dei 2 corpi.

In geometria proiettiva le sezioni coniche nel piano proiettivo sono considerate equivalenti, nel senso che possono essere trasformate l'una nell'altra mediante una trasformazione proiettiva.

In epoca ellenistica la conoscenza delle coniche permise la costruzione di specchi parabolici, forse applicati in attività belliche (v. Specchi ustori) e nella costruzioni di fari di grande portata (v. Faro di Alessandria).

[modifica] Sfere di Dandelin

Per una trattazione breve e abbastanza semplice delle sezioni coniche che mostra come esse si possono caratterizzare equivalentemente come intersezioni di un piano con un cono e in termini di fuochi o di un fuoco e una direttrice vedi Sfere di Dandelin.

[modifica] Derivazione

Consideriamo un cono avente come asse l'asse delle z e il vertice nell'origine. Esso è determinato dall'equazione

$x^2 + y^2 - a^2 z^2 = 0 \qquad \qquad (1)$

dove

$a = \tan \theta > 0 \;$

e $θ$ denota l'angolo che ogni generatrice del cono forma con l'asse. Si noti che questa equazione individua due superfici una posta al di sopra e l'altra al di sotto del vertice; nel parlare comune ciascuna di queste superfici viene detta cono; i matematici preferiscono parlare di due nappe la cui unione costituisce il cono e la cui intersezione si riduce al vertice del cono.

Consideriamo un piano P che interseca il piano Oxy in una retta parallela all'asse delle y e che interseca il piano Oxz in una retta con una certa pendenza; la sua equazione è

$z = mx + b \qquad \qquad (2)$

dove

$m = \tan \phi > 0 \;$

e $φ$ è l'angolo che P forma con il piano Oxy.

Ci proponiamo di individuare l'intersezione del cono con il piano P: questo richiede la combinazione delle due equazioni (1) e (2). Queste si possono risolvere nella variabile z e le espressioni trovate si possono uguagliare. L'equazione (1) per la z fornisce

$z = \sqrt{x^2 + y^2 \over a^2}$ ;

di conseguenza

$\sqrt{x^2 + y^2 \over a^2} = m x + b.$

Elevati al quadrato i due membri e sviluppato il binomio del membro a destra si ottiene

${x^2 + y^2 \over a^2} = m^2 x^2 + 2 m b x + b^2 \;$ .

Raggruppando le variabili si giunge alla

$x^2 \left( {1 \over a^2} - m^2 \right) + {y^2 \over a^2} - 2 m b x - b^2 = 0. \qquad \qquad (3)$

Si noti che questa è l'equazione della proiezione della sezione conica sul piano Oxy; Quindi questa equazione fornisce una figura ottenuta dalla sezione conica mediante una contrazione nella direzione dell'asse delle x.

[modifica] Derivazione della parabola

Si ottiene una parabola quando la pendenza del piano P è uguale alla pendenza delle generatrici del cono. In questo caso gli angoli $θ$ e $φ$ sono complementari. Questo implica che

$\tan \theta = \cot \phi \;$ ;

di conseguenza

$m = {1 \over a} \qquad \qquad (4)$ .

Sostituendo l'equazione (4) nell'equazione (3) si fa scomparire il primo termine nell'equazione (3) e rimane l'equazione

${y^2 \over a^2} - {2 \over a} b x - b^2 = 0$ .

Moltiplicando entrambi i membri per a²,

$y^2 - 2 a b x - a^2 b^2 = 0 \;$ ;

a questo punto si può trovare un'espressione per la x:

$x = {1 \over 2 a b} y^2 - {a b \over 2}. \qquad \qquad (5)$

L'equazione (5) descrive una parabola il cui asse è parallelo all'asse delle x. Altre versioni della equazione (5) si possono otteenere ruotando il piano intorno all'asse delle z.

[modifica] Derivazione dell'ellisse

Si individua un'ellisse quando la somma degli angoli $θ$ e $φ$ è inferiore ad un angolo retto:

$\theta + \phi < {\pi \over 2} \qquad \qquad \mbox{(ellisse)}$

In tal caso la tangente della somma dei due angoli è positiva.

$\tan (\theta + \phi) > 0 \;$ .

Ricordiamo ora la identità trigonometrica

$\tan (\theta + \phi) = {\tan \theta + \tan \phi \over 1 - \tan \theta \tan \phi}$ ;

questa implica

$\tan (\theta + \phi) = {m + a \over 1 - m a} > 0 \qquad \qquad (6)$

Ma m + a è positivo, in quanto è la somma di due numeri positivi; quindi la disuguaglianza (6) è positiva se anche il denominatore è positivo:

$1 - m a > 0. \qquad \qquad (7)$

Dalla disuguaglianza (7) si deducono:

$m a < 1, \;$

$m^2 a^2 < 1, \;$

$1 - m^2 a^2 > 0, \;$

${1 \over m^2 a^2} > 1,$

${1 \over m^2 a^2} - 1 > 0,$

${1 \over a^2} - m^2 > 0 \qquad \qquad \mbox{(ellisse)}.$

Riprendiamo ancora l'equazione (3),

$x^2 \left( {1 \over a^2} - m^2 \right) + {y^2 \over a^2} - 2 m b x - b^2 = 0, \qquad \qquad (3)$

ma questa volta assumiamo che il coefficiente di x² non si annulli ma sia invece positivo. Risolviamo per la y:

$y = a \sqrt{ b^2 + 2 m b x - x^2 \left( {1 \over a^2} - m^2 \right)}~. \qquad \qquad (8)$

Questa equazione descriverebbe chiaramente un'ellisse, se non fosse presente il secondo termine sotto il segno di radice, 2 m b x: sarebbe l'equazione di una circonferenza dilatata proporzionalmente secondo le direzioni dell'asse delle x e dell'asse delle y. L'equazione (8) in effetti individua un'ellisse ma in modo non evidente; quindi occorre manipolarla ulteriormente per convincersi di questo fatto. Completiamo il quadrato sotto il segno di radice:

$y = a \sqrt{ b^2 - \left[ x \sqrt{ {1 \over a^2} - m^2} - {b \over \sqrt{ {1 \over a^2 m^2} - 1}} \right]^2 + \left( {b^2 \over {1 \over a^2 m^2} - 1} \right)}$ .

Raccogliamo i termini in b²:

$y = a \sqrt{ b^2 \left( 1 + {1 \over {1 \over a^2 m^2} - 1} \right) - \left[x \sqrt{ {1 \over a^2} - m^2} - {b \over \sqrt{{1 \over a^2 m^2} - 1}} \right]^2 }.$

Dividiamo per a ed eleviamo al quadrato entrambi i membri:

${y^2 \over a^2} + \left( x \sqrt{{1 \over a^2} - m^2} - {b \over \sqrt{{1 \over a^2 m^2} - 1}} \right)^2 = b^2 \left( 1 + {1 \over {1 \over a^2 m^2} - 1} \right).$

La x presenta un coefficiente, mentre è opportuno far scomparire tale componente raccogliendolo a fattore fuori del secondo termine che è un quadrato:

${y^2 \over a^2} + \left( {1 \over a^2} - m^2 \right) \left( x - {b \over \sqrt{ \left( {1 \over a^2 m^2} - 1 \right) \left( {1 \over a^2} - m^2 \right)}} \right)^2 = b^2 \left( 1 + { 1 \over {1 \over a^2 m^2} - 1} \right).$

Un'ulteriore manupolazione delle costanti finalmente conduce a

${y^2 \over 1 - a^2 m^2} + \left( x - {m b \over {1 \over a^2} - m^2} \right)^2 = { a^2 b^2 \over (1 - a^2 m^2)^2}$ .

Il coefficiente del termine in y è positivo (per un'ellisse). Cambiando i nomi dei coefficienti e delle costanti ci conduce a

${y^2 \over A} + (x - C)^2 = R^2 \qquad \qquad (9)$

che è chiaramente l'equazione di un'ellisse. In altri termini, l'equazione (9) descrive una circonferenza di raggio R e centro (C,0) che viene poi dilatata verticalmente per un fattore $\sqrt{A}$ . Il secondo termine del membro a sinistra (il termine nella x) non ha coefficiente ma è un quadrato, quindi deve essere positivo. Il raggio è un prodotto di quadrati e quindi deve essere anch'esso positivo. Il primo termine del membro a sinistra (il termine in y) ha un coefficiente positivo, e dunque l'equazione descrive un'ellisse.

[modifica] Derivazione dell'iperbole

L'intersezione del cono con il piano P fornisce un'iperbole quando la somma degli angoli $θ$ e $φ$ è un angolo ottuso, maggiore di un angolo retto. La tangente di un angolo ottuso è negativa e tutte le disuguaglianze trovate per l'ellisse vengono cambiate nelle loro opposte. Quindi si ottiene

$1 - a^2 m^2 < 0 \qquad \qquad \mbox{(iperbole)}.$

Di conseguenza per l'iperbole si trova l'equazione che differisce da quella trovata per l'ellisse solo per avere negativo il coefficiente A del termine in y. Questo cambiamento di segno fa passare da un'ellisse ad un'iperbole. Il collegamento fra ellissi e iperbole può descriversi anche osservando che l'equazione di un'ellisse con coordinate reali può interpretarsi come l'equazione di un'iperbole con una coordinata immaginaria e, simmetricamente, che l'equazione di un'iperbole con coordinate reali può interpretarsi come l'equazione di un'ellisse con una coordinata immaginaria (vedi numero immaginario). Il cambiamento di segno del coefficiente A equivale allo scambio fra valori reali e immaginari della funzione della forma y=f(x) che si legge nell'equazione (9).