Direttrice

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In geometria descrittiva, la direttrice è una curva utilizzata per la costruzione geometrica di altre curve e superfici; la definizione esatta varia a seconda del tipo di costruzione utilizzato.

Indice

1 Direttrice e sezioni coniche
- 1.1 Derivazione dell'equazione canonica delle sezioni coniche
2 Direttrice e superfici rigate
3 Voci correlate

[modifica] Direttrice e sezioni coniche

Per approfondire, vedi la voce Sezione conica.

La definizione più nota di direttrice interviene nella costruzione delle sezioni coniche. Queste curve possono venire definite come il luogo dei punti per cui la distanza da un punto fissato (fuoco) e la distanza da una retta detta direttrice assume valore costante, detto eccentricità. Il valore dell'eccentricità $e$ caratterizza la sezione conica, secondo il seguente schema:

$e > 1$ : la curva è una iperbole;
$e = 1$ : la curva è una parabola;
$0 < e < 1$ : la curva è una ellisse;
$e = 0$ : la curva è una circonferenza; in questo caso la definizione data sopra non è direttamente applicabile, perché la direttrice andrebbe posizionata all'infinito; può essere ottenuta come limite del caso ellittico.

[modifica] Derivazione dell'equazione canonica delle sezioni coniche

Fissato il fuoco $F (x 0, y 0)$ e la direttrice generica $r :\, ax + by + c = 0$ , la sezione conica è definita come il luogo dei punti $P (x, y)$ per cui vale:

$\frac{d(P,F)}{d(P,d)} = e \Rightarrow d(P,F) = e \, d(P,r)$ ,

dove $d (P, F)$ e $d (P, d)$ rappresentano rispettivamente la distanza di $P$ dal fuoco e dalla direttrice. Utilizzando le note formule della geometria analitica per la distanza di un punto si ottiene:

$\sqrt{ \left( x - x_0 \right)^2 + \left( y - y_0 \right)^2 } = e \frac{|ax + by + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ .

Elevando al quadrato l'equazione sopra, semplificando e raccogliendo i termini comuni alle potenze di $x$ e $y$ si ottiene:

$\left( 1 - \frac{a^2 e^2}{a^2 + b^2} \right) x^2 - 2 \frac{a b e^2}{a^2 + b^2} xy + \left( 1 - \frac{b^2 e^2}{a^2 + b^2} \right) y^2 + - 2 (x_0 + ac) x - 2 (y_0 + bc) y + \left( x_0^2 + y_0^2 + \frac{c^2 e^2}{a^2 + b^2} \right) = 0$ .

La tipologia della ezione conica è determinata dalla forma quadratica associata ai termini di secondo grado dell'equazione: posto infatti

$\begin{matrix} A & = & 1 - \frac{a^2 e^2}{a^2 + b^2} \\ B & = & - 2 \frac{a b e^2}{a^2 + b^2} \\ C & = & 1 - \frac{b^2 e^2}{a^2 + b^2}, \end{matrix}$

il determinante della forma quadratica è $Δ = b 2 - 4 A C = 4(1 - e 2)$ , e si ha che:

$\Delta < 0 \Leftrightarrow e > 1$ : la curva è una iperbole;
$\Delta = 0 \Leftrightarrow e = 1$ : la curva è una parabola;
$\Delta > 0 \Leftrightarrow 0 < e < 1$ : la curva è una ellisse.

Come caso particolare, per $e = 0$ l'equazione si trasforma immediatamente nell'equazione della circonferenza:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 = 0

[modifica] Direttrice e superfici rigate

Per approfondire, vedi la voce Superficie rigata.

Una retta che si muove lungo una curva data genera una superficie rigata; la curva di partenza viene definita direttrice o curva base; la superficie è parametrizzabile come:

$\mathbf{s}(u,v) = \mathbf{p}(u) + v \, \mathbf{q}(u)$ ,

dove $u \in I \subseteq \mathbb{R}$ , $v \in \mathbb{R}$ sono i parametri reali, $\mathbf{s}$ , $\mathbf{p}$ , $\mathbf{q}$ sono funzioni a valori vettoriali. La direttrice è la curva descritta da $\mathbf{p}(u)$ .