Teorema di Rouché-Capelli

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Il teorema di Rouché-Capelli è un teorema di algebra lineare che permette di calcolare il numero di soluzioni di un sistema di equazioni lineari in funzione del rango di alcune matrici.

Prende il nome dal matematico francese Eugène Rouché, suo ideatore, e dal matematico italiano Alfredo Capelli, che lo riscrisse in maniera più semplice.

Indice

1 Il teorema
2 Dimostrazione
- 2.1 Esistenza
- 2.2 Sottospazio affine
3 Voci correlate

[modifica] Il teorema

Un sistema di equazioni lineari:

$\left\{ \begin{matrix} a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 +\cdots + a_{1,n}x_n & = & b_1\\ a_{2,1}x_1 + a_{2,2}x_2 +\cdots + a_{2,n}x_n & = & b_2\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m,1}x_1 +a_{m,2}x_2 + \cdots + a_{m,n}x_n & = & b_m\end{matrix} \right.$

può essere descritto tramite una matrice

$(A|b) = \left(\begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & \cdots & a_{m,n} \end{matrix}\right| \left. \begin{matrix} b_1\\ \vdots \\b_m\end{matrix}\right)$

detta matrice associata al sistema ; essa è ottenuta dalla giustapposizione della matrice

$A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix}$

dei coefficienti e di un'ulteriore colonna

$b = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$

detta colonna dei termini noti. Le matrici $A$ e $(A | b)$ sono dette rispettivamente incompleta (o dei coefficienti) e completa.

I coefficienti del sistema lineare (e quindi delle matrici) sono elementi di un campo $K$ , quale ad esempio quello dei numeri reali $\R$ o complessi $\mathbb{C}$ . Indichiamo con $rk(M)$ il rango di una matrice $M$ . L'enunciato del teorema di Rouché-Capelli è il seguente:

Esistono soluzioni per il sistema se e solo se il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta.

Se esistono soluzioni, queste formano un sottospazio affine di $K n$ di dimensione $n - rk(A)$ . In particolare, se il campo $K$ è infinito abbiamo:

se $rk(A) = n$ allora la soluzione è unica,
altrimenti ci sono infinite soluzioni.

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Esistenza

Il sistema può essere descritto in modo più stringato, introducendo il vettore delle coordinate

$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$

ed usando il prodotto fra matrici e vettori, nel modo seguente:

A x = b

In altre parole, $b$ è l'immagine del vettore $x$ tramite l'applicazione lineare

$L_A : K^n \to K^ m$

L A (x) = A x

Quindi il sistema ammette soluzione se e solo se $b$ è l'immagine di un qualche vettore $x$ di $K n$ , in altre parole se è nell'immagine di $L A$ . D'altro canto, l'immagine di $L A$ è generata dai vettori dati dalle colonne di $A$ . Quindi $b$ è nell'immagine se e solo se lo span delle colonne di $A$ contiene $b$ , cioè se e solo se lo span delle colonne di $A$ è uguale allo span delle colonne di $(A | b)$ . Quest'ultima affermazione è equivalente a chiedere che le due matrici abbiano lo stesso rango.

[modifica] Sottospazio affine

Se esiste una soluzione $x$ , ogni altra soluzione si scrive come $x + v$ , dove $v$ è una soluzione del sistema lineare omogeneo associato:

A v = 0

Infatti:

A (x + v) = A x + A v = b + o = b .

Le soluzioni del sistema lineare omogeneo associato sono semplicemente il nucleo dell'applicazione $L A$ . Per il teorema della dimensione, il nucleo è un sottospazio vettoriale di dimensione $n - rk(A)$ ). Quindi lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore $x$ , è un sottospazio affine della stessa dimensione.