Forma bilineare

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una forma bilineare su uno spazio vettoriale V con campo $\mathbb{K}$ è una mappa

$\phi:V\times V \to \mathbb{K}$

che associa ad ogni coppia di elementi $\vec v, \vec w \in V$ uno scalare $\phi(\vec v,\vec w) \in \mathbb{K}$ , tale che sia lineare su entrambi i fattori. In altre parole, φ è bilineare valgono le seguenti:

$\phi(a_1 \vec v_1 + a_2 \vec v_2,\vec w) = a_1 \phi (\vec v_1 ,\vec w)+ a_2 \phi (\vec v_2,\vec w)$

$\phi(\vec v, a_1 \vec w_1 + a_2 \vec w_2) = a_1 \phi (\vec v,\vec w_1)+ a_2 \phi (\vec v,\vec w_2)$

Ovvero se fissato uno dei due argomenti la funzione è lineare rispetto all'altro.

Indice

1 Rappresentazione in coordinate
2 Relazione con lo spazio duale
3 Forma degenere
4 Simmetria
- 4.1 Forme simmetriche e antisimmetriche
- 4.2 Prodotto scalare
5 Esempi
6 Voci correlate

[modifica] Rappresentazione in coordinate

Se V ha dimensione n, ogni forma bilineare φ su V può essere rappresentata come una matrice quadrata con n righe. Come per le applicazioni lineari, per fare ciò è necessario scegliere una base {v₁, ... v_n} per V. La matrice risultante dipende dalla base scelta.

La matrice B è definita per componenti da $B i, j = φ(v i, v j)$ . A questo punto, l'azione della forma bilineare su due vettori u e w di V si ricava nel modo seguente, tramite moltiplicazione tra matrici:

$\phi(u,w) = \mathbf{u}^T \mathbf{Bw} = \sum_{i,j=1}^{n}B_{ij}u^i w^j$

dove u e w sono le coordinate di u e w rispetto alla base, aventi componenti uⁱ e w^j.

[modifica] Relazione con lo spazio duale

Ogni forma bilineare B su V definisce una coppia di mappe lineari da V nel suo spazio duale V*, nel modo seguente: definiamo B₁, B₂:V → V* come

B 1 (v)(w) = B (v, w)

B 2 (v)(w) = B (w, v)

In altre parole, B₁(v) è l'elemento di V* che manda w in B₁(v, w). Per distinguere l'elemento v dall'argomento w della funzione ottenuta si usa la notazione

$B_1(v) = B(v,\cdot)$

$B_2(v) = B(\cdot,v)$

dove ( $\cdot$ ) indica il posto per l'argomento della mappa.

D'altro canto, ogni mappa lineare T: V → V* definisce una funzione bilineare

φ(v, w) = T (v)(w).

[modifica] Forma degenere

Una forma bilineare φ definita su uno spazio V di dimensione finita è degenere se la matrice B che la rappresenta rispetto ad una base ha determinante nullo. Altrimenti, è detta non degenere. La definizione non dipende dalla base scelta per rappresentare la forma come matrice.

I fatti seguenti sono equivalenti:

φ è degenere;
esiste un vettore $v$ non nullo tale che $B (v, w) = 0$ per ogni $w$ ;
esiste un vettore $w$ non nullo tale che $B (v, w) = 0$ per ogni $v$ .

[modifica] Simmetria

[modifica] Forme simmetriche e antisimmetriche

Una forma bilineare φ: V × V → K è detta:

simmetrica se $φ(v, w) = φ(w, v)$ per ogni v, w in V
antisimmetrica se $B (v, w) = - B (w, v)$ per ogni v, w in V

Una forma bilineare φ è simmetrica se e solo se la sua matrice associata (rispetto ad una base qualsiasi) è simmetrica, ed è antisimmetrica se e solo se la matrice associata è antisimmetrica.

Se la forma bilineare è simmetrica, le due mappe φ₁, φ₂: V → V* definite sopra coincidono.

[modifica] Prodotto scalare

Per approfondire, vedi la voce prodotto scalare.

Una forma bilineare simmetrica è spesso chiamata prodotto scalare. Altri autori definiscono invece il prodotto scalare come una forma bilineare simmetrica a valori nel campo R dei numeri reali che sia definita positiva, ovvero con $φ(v, v) > 0$ per ogni v diverso da zero e $φ(0,0) = 0$ .

[modifica] Esempi

Il prodotto scalare canonico fra vettori del piano o dello spazio euclideo è una forma bilineare simmetrica.
Sia C[0, 1] lo spazio vettoriale delle funzioni continue sull'intervallo [0,1], a valori reali. Un esempio di forma bilineare simmetrica su C[0, 1] è data da: