Teorema di Schwarz

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Nota disambigua – Se stai cercando il Lemma di Schwarz sulle funzioni olomorfe, vedi Lemma di Schwarz.

Il teorema di Schwarz è un importante teorema in analisi matematica, che afferma che (sotto opportune ipotesi) l'ordine delle derivate parziali in una derivata mista di una funzione a variabili reali è ininfluente.

[modifica] Il teorema in due variabili

Sia

$f : \Omega \subseteq \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}$

una funzione in due variabili, definita su un aperto $Ω$ del piano $\mathbb{R}^{2}$ . Se $f$ ammette derivate seconde miste continue ( $f\in \mathcal{C}^2(\Omega)$ ) allora queste coincidono in ogni punto $p$ , cioè

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \equiv \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ .

In altre parole, invertendo l'ordine di derivazione di una doppia derivazione parziale mista, il risultato non cambia.

[modifica] Dimostrazione

Sia

$p = (x_0, y_0) \in \Omega \,$ .

Scegliamo due reali $\varepsilon \,$ , $\delta > 0 \,$ tali che $(x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon) \times (y_0 - \delta, y_0 + \delta) \subset \Omega \,$ . Ciò è possibile, poiché $\Omega \,$ è un aperto di $\mathbb{R}^2 \,$ .

Definiamo due funzioni $F \,$ e $G \,$ come segue:

$F : (-\varepsilon, \varepsilon) \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \,$ ,

$G : (-\delta, \delta) \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \,$ ,

in modo che

$F(t) = f(x_0 + t, y_0 + s) - f(x_0 + t, y_0) \qquad \forall s \in (-\delta, \delta) \,$ ,

$G(s) = f(x_0 + t, y_0 + s) - f(x_0, y_0 + s) \qquad \forall t \in (-\varepsilon, \varepsilon) \,$ .

Si prova facilmente che, fissati $t \,$ e $s \,$ nei rispettivi intervalli:

$F(t) - F(0) = G(s) - G(0) \,$ .

Inoltre, applicando due volte il teorema di Lagrange:

$F(t) - F(0) = t F'(\xi_1) = t \left[ \frac{\partial f}{\partial x} (x_0 + \xi_1, y_0 + s) - \frac{\partial f}{\partial x} (x_0 + \xi_1, y_0) \right] =$

$= t s \frac{{\partial}^2 f}{\partial x \partial y} (x_0 + \xi_1, y_0 + \sigma_1) \,$ ,

e analogamente

$G(s) - G(0) = s t \frac{{\partial}^2 f}{\partial y \partial x} (x_0 + \xi_2, y_0 + \sigma_2) \,$ ,

con $\xi_i \in (0, t) \,$ , $\sigma_i \in (0, s) \,$ , dove, per comodità di scrittura, si sono assunti $t, s > 0 \,$ .

Facendo tendere $t \,$ e $s \,$ a $0 \,$ (e quindi anche $\xi_i \,$ e $\sigma_i \,$ ) si ha la tesi.

[modifica] Esempio

Sia

f (x, y) = x 2 y 2 + y 3 x

Entrambe le derivate parziali prime sono continue. Risulta rispettivamente

f x = 2 x y 2 + y 3

f y = 2 y x 2 + 3 x y 2;

queste due funzioni sono ulteriormente derivabili e le derivate miste sono

f x y = 4 x y + 3 y 2

f y x = 4 x y + 3 y 2 .

Quindi $f x y = f y x$ .

[modifica] Conseguenze

Se una funzione ha derivate parziali continue, la sua matrice hessiana è simmetrica.

[modifica] Necessità delle ipotesi

L'ipotesi di continuità delle derivate parziali è in effetti necessaria. Si consideri ad esempio la funzione

$f(x,y)=\left\{\begin{matrix} xy \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 \setminus \ (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{matrix}\right.$