Satz von Schwarz

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Der Satz von Schwarz ist ein Satz der Mathematik in der Differentialrechnung mehrerer Variablen. Er ist benannt nach Hermann Amandus Schwarz (1843 - 1921).

Inhaltsverzeichnis

1 Beschreibung
2 Der Satz
3 Andere Schreibweisen und Formulierungen
4 Sonstiges
5 Weblinks
6 Einzelnachweise

[Bearbeiten] Beschreibung

Der Satz von Schwarz besagt, dass für zweimal stetig differenzierbare Funktionen die Reihenfolge der partiellen Differentiation (Ableitung) nicht entscheidend für das Ergebnis ist. Tatsächlich sagt er noch mehr aus, weil er aus der Existenz der ersten partiellen Ableitungen und einer partiellen zweiten Ableitung die Existenz und den Wert einer anderen partiellen zweiten Ableitung herleitet.

[Bearbeiten] Der Satz

Sei $U \subseteq \mathbb{R}^n$ eine offene Menge sowie $f: U \to \mathbb{R}$ zweimal stetig differenzierbar. Dann gilt $\frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{\partial f}{\partial x_k}\right) = \frac{\partial}{\partial x_k}\left(\frac{\partial f}{\partial x_j}\right)$ auf ganz $U$ für alle $1 \leq j,k \leq n$ .

Der Satz gilt schon unter leicht schwächeren Voraussetzungen: Es genügt, dass die ersten partiellen Ableitungen im betrachteten Punkt total differenzierbar sind. ^[1]

[Bearbeiten] Andere Schreibweisen und Formulierungen

Nachdem die Vertauschbarkeit gegeben ist, kann man die Klammern weglassen:

$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}$ oder auch ${f_{xy}\;=\;f_{yx}}$ .

Wenn man die partielle Differentiation als Abbildung von $C^{2}(U,\mathbb{R})$ nach $C^{1}(U,\mathbb{R})$ und von $C^{1}(U,\mathbb{R})$ nach $C^{0}(U,\mathbb{R})$ auffasst, kann man sogar noch kürzer schreiben:

$\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2}{\partial y\partial x}$ oder auch $\partial_1 \partial_2 = \partial_2 \partial_1$ .

Der Satz von Schwarz sagt auch aus, dass die Hesse-Matrix symmetrisch ist.

Fasst man $f \in C^2(U,\mathbb{R})$ als differenzierbare 0-Form auf und schreibt $d$ für die äußere Ableitung, so hat der Satz von Schwarz die Form $d (d f) = 0$ bzw. auch einfach nur $d d = 0$ . Für $U \subseteq \R^3$ lässt sich das auch wie folgt formulieren: Die Rotation des Gradientenvektorfelds ist gleich null: $\operatorname{rot} (\operatorname{grad} f) = 0$ , oder mit Nabla-Symbol geschrieben: $\vec\nabla \times \vec \nabla f = \vec 0$ . Das Gradientenvektorfeld ist also wirbelfrei.

[Bearbeiten] Sonstiges

Der Satz von Schwarz heißt auch Satz von Clairaut (nach Alexis Clairaut). Er ist nicht zu verwechseln mit dem Lemma von Schwarz aus der komplexen Analysis.

[Bearbeiten] Weblinks

http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/lbogunovic/analysis/schwarz.pdf – Ein sehr ausführlicher Beweis.

[Bearbeiten] Einzelnachweise

↑ Hans Grauer und Wolfgang Fischer, Differential- und Integralrechnung II, Springer Verlag 1978

Kategorien: Analysis | Satz (Mathematik)

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