Théorème de Schwarz

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Le théorème de Schwarz, également appelé théorème de Clairaut, peut s'énoncer ainsi :

Théorème de Schwarz — Soit $f$ , une fonction numérique de n variables, définie sur un ensemble ouvert $U$ de ℝⁿ. Si les dérivées partielles existent à l'ordre $p$ et sont continues en un point $x$ de $U$ , alors le résultat d'une dérivation à l'ordre $p$ ne dépend pas de l'ordre dans lequel se fait la dérivation par rapport aux $p$ variables considérées.

Dans le cas particulier des fonctions de deux variables $x$ et $y$ , on obtient :

$\frac{\partial^2f}{\partial x\, \partial y} = \frac{\partial^2f} {\partial y\, \partial x}$

[modifier] Un contre-exemple

Le résultat ci-dessus peut tomber en défaut lorsque les hypothèses ne sont pas vérifiées.

Considérons la fonction :

$f(x,y)= \begin{cases} \frac{x y^3}{x^2 + y^2} & \text{si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$

Les dérivées sont :

$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \begin{cases} y^3 \frac{y^2- x^2}{( x^2 + y^2 )^2} & \text{si } y \neq 0 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$

$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \begin{cases} x y^2 \frac{3 x^2 + y^2}{( x^2 + y^2 )^2} & \text{si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$

Les dérivées partielles croisées d'ordre 2 en $(0,0)$ sont

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} (0,0) = 0\text{ et }\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} (0,0) = 1$

[modifier] Application du théorème de Schwarz aux formes différentielles exactes

Considérons la forme différentielle exacte suivante, où $f$ est une fonction de classe $C 2$ :

$\mathrm df = a(x,y)\,\mathrm dx + b(x,y)\,\mathrm dy$

Nous savons alors que :

$a(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}$ et $b(x,y) = \frac{\partial f}{\partial y}$

En appliquant le théorème de Schwarz nous en déduisons immédiatement la relation :

$\frac{\partial a(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial b(x,y)}{\partial x}$

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