Lemma di Schwarz

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Nota disambigua – Se stai cercando il Teorema di Schwarz sulle derivate parziali, vedi Teorema di Schwarz.

In analisi matematica, il Lemma di Schwarz descrive una proprietà delle funzioni olomorfe. Il lemma, che prende il nome da Hermann Amandus Schwarz, è un risultato minore, utilizzato per la dimostrazione di altri teoremi più importanti, come il teorema della mappa di Riemann. È uno dei risultati più semplici che caratterizzano la "rigidità" delle funzoni olomorfe.

[modifica] Enunciato

Siano $D = {z : | z | < 1}$ il disco aperto unitario nel piano complesso $\mathbb{C}$ e $f: D \to \overline{D}$ una funzione olomorfa nulla nell'origine ( $f (0) = 0$ ). Allora valgono le seguenti relazioni:

$|f(z)| \le |z| \,\forall z \in D$ ;
$|f'(0)| \le 1$ .

Inoltre, se vale l'uguaglianza

$|f(z)| = |z| \, \forall z \ne 0$ ,

oppure

| f'(0) | = 1

allora $f\$ è una rotazione:

$f(z) = az \, (|a| = 1)$ .

[modifica] Estensioni del teorema

Il teorema di Schwarz-Pick asserisce che, data una funzione olomorfa $f\colon D \to D$ , valgono le seguenti relazioni (con $z_1 ,\, z_2 ,\, z \in D$ ):

$\left| \frac{ f(z_1) - f(z_2) }{ 1 - \overline{f(z_1)} f(z_2) } \right| \le \frac{ \left| z_1 - z_2 \right| }{ \left| 1 - \overline{z_1} z_2 \right| }$ ;
$\frac{ \left| f'(z) \right| }{ 1 - \left| f(z) \right| ^2 } \le \frac{ 1 }{ 1 - \left| z \right| ^2 }$ .

Usando la metrica di Poincaré, definita dalla funzione:

$d(z_1,z_2)=\tanh^{-1}\left(\frac{\left|z_1-z_2\right|}{\left|1-\overline{z_1}z_2\right|}\right)$ ,

la funzione $f\$ risulta essere una funzione contrattiva, in quanto accorcia le distanze tra i punti del piano (teorema di Schwarz–Ahlfors–Pick).

Se per una delle precedenti espressioni vale l'uguaglianza, allora $f\$ è un automorfismo analitico, espresso tramite una trasformazione di Möbius.

Il teorema di Schwarz può inoltre essere considerato come un caso particolare del teorema di de Branges.

[modifica] Bibliografia

(EN) Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces. New York, Springer-Verlag, 2002. ISBN 3-540-43299-X
(EN) S. Dineen, The Schwarz Lemma. Oxford University Press, 1989. ISBN 0-19-853571-6