Greenova věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Greenova věta určuje v matematice vztah mezi křivkovým integrálem druhého druhu po uzavřené křivce k a dvojným integrálem na (uzavřené) oblasti $D$ , která je křivkou k ohraničena.

Obsah

1 Formulace věty
2 Důsledky
3 Zobecnění
4 Související články

[editovat] Formulace věty

Jsou-li funkce $P(x,y), Q(x,y), \frac{\part P}{\part y}(x,y), \frac{\part Q}{\part x}(x,y)$ spojité na $D$ , pak

$\int_k (P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y) = \iint_D \left(\frac{\part Q}{\part x}-\frac{\part P}{\part y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

Speciální případy definičního vztahu dostaneme pro $Q (x, y) = 0$ , tzn.

$\int_k P\mathrm{d}x = -\iint_D \frac{\part P}{\part y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

a podobně pro $P (x, y) = 0$ , tedy

$\int_k Q\mathrm{d}y = \iint_D \frac{\part Q}{\part x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

[editovat] Důsledky

Jestliže hodnota integrálu $\int_k \left[f(x,y)\mathrm{d}x+g(x,y)\mathrm{d}y\right] = \int_k f(x,y)\mathrm{d}x+\int_k g(x,y)\mathrm{d}y$ závisí pouze na počátečním a koncovém bodu křivky k a nikoli na cestě, tedy na tvaru křivky, pak říkáme, že křivkový integrál nezávisí na integrační cestě. Postačující podmínkou, aby uvedený integrál nezávisel na integrační cestě je splnění rovnosti

$\frac{\part P}{\part y} = \frac{\part Q}{\part x}$

Je-li křivka k uzavřená a současně je splněna předchozí podmínka, pak je hodnota integrálu $\int_k (P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y) = \iint_D \left(\frac{\part Q}{\part x}-\frac{\part P}{\part y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ rovna nule.

Má-li být na oblasti $D$ výraz $P d x + Q d y$ totálním diferenciálem nějaké funkce $F (x, y)$ , pak v oblasti $D$ musí platit podmínka $\frac{\part P}{\part y} = \frac{\part Q}{\part x}$ , tzn. hodnota integrálu závisí pouze na počátečním bodu $[x 1, y 1]$ a koncovém bodu $[x 2, y 2]$ křivky k. Tuto hodnotu lze pak určit jako rozdíl $F (x 2, y 2) - F (x 1, y 1)$ .

Nutnou a postačující podmínkou nezávislosti integrálu na integrační cestě je existence funkce $F (x, y)$ takové, že výraz $P d x + Q d y$ je jejím totálním diferenciálem.