Processo di Wiener

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Questa voce o sezione sull'argomento matematica non riporta fonti o riferimenti.

cfr. commento anonimo in discussione
Per favore migliora questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili (aiuto, partecipa!).
Il materiale non verificabile può essere messo in dubbio e valutato secondo le linee guida sull'uso delle fonti.

In matematica, un processo di Wiener, così chiamato in onore di Norbert Wiener, è un processo stocastico Gaussiano in tempo continuo con incrementi indipendenti, usato per modellizzare il moto browniano e diversi fenomeni casuali osservati nell'ambito della finanza. È uno dei processi di Lévy meglio conosciuti.

[modifica] Definizione formale

Per ogni numero positivo $\ t$ , si denoti il valore assunto dal processo al tempo $\ t$ con $\ W_{t}$ . Il processo è caratterizzato dalle seguenti condizioni:

Il processo parte da 0: $\ W_{0}=0$ ;

Le traiettorie (ossia, tutte le funzioni $\ W(t)$ , $t\in\mathbb{R}_+$ , realizzazioni di un processo di Wiener) sono continue;

Per $\ 0<s<t$ :

$\ W_{t}-W_{s}\sim N\left(0,(t-s)\right)$

dove $\ N(\mu,\sigma^{2})$ denota una distribuzione normale con media $\ \mu$ e varianza $\ \sigma^{2}$ ;

Per ogni $\ t$ , $\ W_{t}$ si distribuisce normalmente con media 0 e varianza t;

Per $\ 0\leq s\leq t\leq u\leq v$ (i due intervalli $\ [s,t[$ e $\ [u,v[$ non si sovrappongono):

$\ W_{t}-W_{s}$ e $\ W_{v}-W_{u}$

sono variabili casuali indipendenti.

Le traiettorie di un processo di Wiener sono continue quasi certamente (con probabilità 1). Una misura di Wiener è una legge di probabilità sullo spazio delle funzioni continue $\ g:\ g(0)=0$ indotta dal processo di Wiener. Un'integrale basato su una misura di Wiener è detto integrale di Wiener.

Si noti che, per ogni $\ t\in \mathbb{R}_+$ , $\ W_{t}$ ha la stessa legge della variabile aleatoria $\ N \sqrt {t}$ dove il fattore $\ N$ rappresenta una variabile aleatoria distribuita gaussianamente con media nulla e varianza unitaria, e che $\ W_{t}-W_{s}$ ha la stessa legge di $\ N \sqrt {t-s}$ . Chiaramente, $\ N\sqrt{t},\ t\in \mathbb{R}_{+},$ non è un processo di Wiener, poiché le sue traiettorie sono monotone mentre si può dimostrare che quasi nessuna traiettoria di un processo di Wiener è localmente monotona.

[modifica] Differenziale del processo di Wiener

Se si considera il processo di Wiener in corrispondenza di un lasso di tempo sufficientemente piccolo si ottinene l'incremento infinitesimo di tale processo nella forma

$\ W_{t+dt}-W_{t}=\delta W_{t}= N \sqrt {dt}$ (1)

la quale può scriversi come

$\frac {W_{t+dt}-W_{t}}{dt}= \frac {N} {\sqrt {dt}}$

Tale processo non è a variazione limitata, e per questo non risulta differenziabile nell'ambito dell'analisi classica. Infatti la precedente tende ad infinito al tendere a zero dell'intervallo $\ dt$ .

Accantonati in parte gli strumenti dell'analisi classica, il differenziale del processo di Wiener può essere comunque definito in senso stocastico. Infatti, essendo la varianza di tale processo $\ \textrm{E}(W_{t}^2)-\textrm{E}^2(W_{t})=t$ ed essendo il valore atteso di tale processo nullo $\ \textrm{E}(W_{t})=\textrm{E}^2(W_{t})=0$ si ha che la media quadratica del processo di Wiener coincide con il tempo trascorso, ovvero $\ \textrm{E}(W_{t}^2)=t$ .

In base a ciò possiamo definire il differenziale di un processo di Wiener tramite il differenziale della media quadratica di tale processo. Ovvero il differenziale di $\ W_{t}$ rispetto al tempo è $\ dW_{t}$ in quanto il differenziale di $\ t$ è $\ dt$ .

In altre parole il differenziale di un processo di Wiener è quel processo la cui media quadratica coincide con il differenziale della media quadratica del processo di Wiener da differenziare. (In formule $\ E(dW_{t}^2)=dE(W_{t}^2)$ )

In base a quanto sopra esposto si può definire il differenziale di un processo di Wiener con la formula

$\ dW_{t}=N \sqrt {dt}$

la quale, confrontata con la (1), mostra che secondo l'approccio stocastico $\ \delta W_{t}$ coincide proprio con $\ dW_{t}$ , e sussistono le proprietà $\ \textrm{E}(dW_{t})=0$ ed $\ \textrm{var}(dW_{t})= dt$ .

In termini meno formali il differenziale del processo di Wiener non è altro che un processo di Wiener considerato in un lasso di tempo infinitesimo.

Un'interessante proprietà del processo di Wiener è l'approssimativa non stocasticità del fattore $\ dW_{t}^2$ al tendere a zero del fattore temporale $\ dt$ .