Винеровский процесс

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Винеровский процесс в теории случайных процессов — это математическая модель броуновского движения или случайного блуждания с непрерывным временем.

Содержание

1 Определение
2 Непрерывность траекторий
3 Свойства винеровского процесса
4 Многомерный винеровский процесс
5 См. также

[править] Определение

Случайный процесс $\{W_t\}_{t \ge 0}$ называется винеровским процессом, если

$W 0 = 0$ почти наверное.
${W t}$ — процесс с независимыми приращениями.
$W_t - W_s \sim \mathrm{N}(0,t-s)~$ , для любых $0\le s < t < \infty$ , где $N(0, t - s)$ обозначает нормальное распределение со средним $0$ и дисперсией $t - s$ .

[править] Непрерывность траекторий

Существуют винеровские процессы такие, что почти все их траектории непрерывны. Часто непрерывность траекторий включается в определение винеровского процесса.

[править] Свойства винеровского процесса

${W t}$ — гауссовский процесс.
${W t}$ — марковский процесс.
Очевидно, $W_t \sim \mathrm{N}(0,t)~$ . В частности:

$\mathbb{E}[W_t] = 0$ ,

D[W t] = t

$cov(W s, W t) = min(s, t)$ .

Винеровский процесс автомоделен. Если ${W t}$ — винеровский процесс, и $c > 0$ , то

$W^c_t \equiv \frac{1}{\sqrt{c}} W(c\,t)$

также является винеровским процессом.

Траектории винеровского процесса нигде не дифференцируемы почти наверное.

Для любого заданного отрезка траектории винеровского процесса — функции неограниченной вариации на этом отрезке почти наверное

$\limsup\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{W(t,\omega)}{\sqrt{2t\ln\ln t}}=1$

[править] Многомерный винеровский процесс

Многомерный ( $n$ -мерный) винеровский процесс $\mathbf{W}_t$ — это $R n$ -значный случайный процесс, составленный из $n$ независимых одномерных винеровских процессов, то есть