Brownse beweging (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de kansrekening wordt de term Brownse beweging gehanteerd voor een welbepaald stochastisch proces dat de statistische eigenschappen van het gelijknamige natuurkundige verschijnsel idealiseert (zie Brownse beweging). Een synoniem is Wienerproces, genoemd naar Norbert Wiener.

Inhoud

1 Definitie
2 Existentie
3 Verband met stochastische wandeling
4 Eigenschappen
5 Wienerintegraal en Brownse brug
6 Hogere dimensies
7 Verband met partiële differentiaalvergelijkingen

[bewerk] Definitie

Op een vast tijdstip t wordt de verdeling van de Brownse beweging X_t beschreven door een Gausskromme.

De Brownse beweging is een stochastisch proces

$\{(\Omega,\mathcal{A},P),(X_t|t\in\mathbb{R}^+),(\mathbb{R},\mathcal{R})\}$

met de volgende eigenschappen:

Het universum $Ω$ bestaat uit de continue afbeeldingen van $\mathbb{R}^+$ naar $\mathbb{R}$ ;
De paden van het proces zijn continu: $\forall t\in\mathbb{R}^+,\forall\omega\in\Omega:X_t(\omega)=\omega(t);$
De eindigdimensionale verdelingen zijn Gaussisch: $\forall n\in\mathbb{N}\setminus\{0\},\forall 0=t_0<t_1<\ldots<t_n,\forall A_1,\ldots,A_n\in\mathcal{R}:$

$P\left[X_{t_1}\in A_1\wedge\cdots\wedge X_{t_n}\in A_n\right]=$

$\int_{x_1\in A_1}\cdots\int_{x_n\in A_n}\prod_{i=1}^n{1\over\sqrt{2\pi(t_i-t_{i-1})}}\exp\left(-{(x_i-x_{i-1})^2\over2(t_i-t_{i-1})}\right) dx_1\cdots dx_n$

waar we veronderstellen dat

x 0 = 0.

De derde voorwaarde betekent dat voor elke eindige verzameling tijdstippen, de bijhorende stochastische variabelen een multivariate normale verdeling hebben. Om precies te zijn: als $0=t_0<t_1<\ldots<t_n$ , dan is de stochastische vector $X_1,X_2-X_1,\ldots,X_n-X_{n-1}$ normaal verdeeld met gemiddelden 0 en een diagonale covariantiematrix $Σ$ met diagonaalelementen $t_1-t_0,t_2-t_1,\ldots,t_n-t_{n-1}$ .

[bewerk] Existentie

Bijna elk pad van de Brownse beweging is in alle tijdstippen continu en in geen enkel tijdstip differentieerbaar.

Het feit dat een dergelijk proces bestaat, ligt niet voor de hand. De twee belangrijkste resultaten die hiertoe aanleiding geven, worden meestal respectievelijk de stelling van Kolmogorov en de stelling van Kolmogorov-Prochorov genoemd. De eerste construeert een proces op de verzameling (niet noodzakelijk continue) afbeeldingen van $\mathbb{R}^+$ naar $\mathbb{R}$ , de tweede toont aan dat de discontinue paden van dit proces bevat liggen in een nulverzameling.

[bewerk] Verband met stochastische wandeling

De Brownse beweging is het analogon, voor een continue tijdsparameter, van wat de stochastische wandeling betekent voor een discrete tijdsparameter.

[bewerk] Eigenschappen

De Brownse beweging is een Markovproces.

De Brownse beweging is een martingaal. Ook het proces $X_t^2-t$ is een martingaal.

De Brownse beweging heeft onafhankelijke toenamen, dit wil zeggen dat voor willekeurige tijdstippen $t 1 < t 2 < t 3 < t 4$ de stochastische variabelen $X_{t_2}-X_{t_1}$ en $X_{t_4}-X_{t_3}$ onderling onafhankelijk zijn.

De paden $ω$ van de Brownse beweging zijn bijna zeker nergens differentieerbaar. Ze vertonen dus een extreem grillig karakter.

[bewerk] Wienerintegraal en Brownse brug

De integraal van stochastische variabelen ("functionalen") ten opzichte van de kansmaat P staat bekend als de Wienerintegraal.

De Brownse brug voor gegeven $t\in\mathbb{R}^+$ en $x,y\in\mathbb{R}$ is een stochastisch proces dat op dezelfde universumverzameling $Ω$ gedefinieerd wordt, maar waarvan de hoger beschreven eindigdimensionale verdelingen verschillen in de zin dat de integraal over de veranderlijke $x n$ wegvalt, en dat $n\geq2$ , $x 0 = x$ , $x n = y$ en $t n = t$ . Intuïtief komt de Brownse brug overeen met een Brownse beweging, conditioneel op de aankomst in een gegeven punt $y$ op het tijdstip $t$ .

[bewerk] Hogere dimensies

Een typisch pad van de driedimensionale Brownse beweging

De n-dimensionale Brownse beweging is gewoon het cartesisch product van n onafhankelijke kopieën van de gewone (eendimensionale) Brownse beweging.

[bewerk] Verband met partiële differentiaalvergelijkingen

Vele resultaten uit de theorie der lineaire partiële differentiaalvergelijkingen kunnen elegant en relatief eenvoudig worden geformuleerd in termen van de Brownse beweging. Het bekendste raakpunt tussen beide theorieën is het Feynman-Kac-formalisme. Daarin wordt de oplossing van de Schrödingervergelijking voor zuiver imaginaire tijdstippen gegeven in termen van de Wienerintegraal.

Daarnaast heeft Edward Nelson de Schrödingervergelijking zelf herschreven in termen van een stochastisch proces dat nauw verwant is met de Brownse beweging.

Tenslotte worden harmonische functies gekenmerkt door het feit dat ze de dichtheidsstroom van de Brownse beweging invariant laten. De algemene oplossing van het Dirichlet-randwaardeprobleem voor de Laplace-vergelijking wordt gegeven door een verwachtingswaarde in termen van de (meestal meerdimensionale) Brownse beweging, verschoven over een vector x, op het toevallige tijdstip T (inkomtijd) waarop de Brownse beweging de rand het eerst ontmoet

$f(x)=E\left[f(X_T)\right]$

Categorieën: Stochastisch proces | Analyse

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Brownse beweging (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Inhoud

[bewerk] Definitie

[bewerk] Existentie

[bewerk] Verband met stochastische wandeling

[bewerk] Eigenschappen

[bewerk] Wienerintegraal en Brownse brug

[bewerk] Hogere dimensies

[bewerk] Verband met partiële differentiaalvergelijkingen

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen