Notazione bra-ket

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La notazione bra-ket è una notazione usata in meccanica quantistica per descrivere uno stato quantistico. Essa può essere usata anche più in generale in matematica per denotare vettori astratti in uno spazio funzionale lineare: lo spazio di Hilbert. Il nome deriva dal fatto che il prodotto scalare di due stati è denotato con una bracket, $\langle\phi|\psi\rangle$ , consistente in due parti, la sinistra $\langle\phi|$ chiamata bra, e la parte destra $|\psi\rangle$ , chiamata ket. La notazione fu introdotta da Paul Dirac, ed è anche conosciuta come notazione di Dirac. Un ket di stato descrive completamente uno stato quantistico, quindi esso contiene tutte le informazioni circa lo stato di un sistema quantistico.

[modifica] Spazio di Hilbert

In meccanica quantistica e nella rappresentazione di Dirac ad ogni stato è associato un vettore di stato indicato con $|\cdot \rangle$ nello spazio di Hilbert astratto $\mathcal H$ . Questo spazio è innanzitutto uno spazio vettoriale, cioè se $|\alpha \rangle, |\beta \rangle \in \mathcal{H}$ :

$a |\alpha \rangle + b |\beta \rangle \in \mathcal H$

dove $a,b \in \mathbb{C}$ , questa proprietà deve essere valida per il principio di sovrapposizione. Proprietà che derivano direttamente dal fatto che $\mathcal H$ è uno spazio vettoriale complesso sono:

$|\alpha \rangle + |\beta \rangle = |\beta \rangle + |\alpha \rangle$

In particolare se esistono $|\alpha_1 \rangle , |\alpha_2 \rangle , ..., |\alpha_n \rangle$ vettori essi sono linearmente indipendenti se e solo se:

$c_1 |\alpha_1 \rangle + c_2 |\alpha_2 \rangle + ... + c_n |\alpha_n \rangle = 0$

implica che:

c 1 = c 2 = ... = c n = 0

Lo spazio di Hilbert è anche uno spazio euclideo per cui nella notazione di Dirac valgono le proprietà:

$\langle \beta |c_1 \alpha_1 + c_2 \alpha_2 \rangle = c_1 \langle \beta |\alpha_1 \rangle + c_2 \langle \beta |\alpha_2 \rangle$

$\langle \beta |\alpha \rangle^* = \langle \alpha | \beta \rangle$

$\langle \alpha |\alpha \rangle \ge 0$

dove nell'ultima proprietà l'uguaglianza vale solo se $|\alpha \rangle =0$ , è la definizione di norma. Queste implicano anche che:

$\langle c \beta |\alpha \rangle = c^* \langle \beta |\alpha \rangle$

dove $*$ è l'operazione di coniugazione complessa.

Inoltre lo spazio di Hilbert è uno spazio completo e separabile: queste due proprietà indicano che in pratica esiste un insieme completo di vettori che formano una base numerabile.

Analogamente al caso euclideo, possiamo scegliere una base nello spazio di Hilbert complesso, diciamo una base discreta:

$\{|i \rangle \} = \left( |1 \rangle , |2 \rangle, \cdots \right)$

con:

$\langle i | j \rangle = \delta_{ij}$

condizione di ortormalità ( $δ i j$ è il simbolo di Kronecker). Possiamo rappresentare un qualsiasi vettore di stato come combinazione lineare di tali vettori di base con opportuni coefficienti complessi:

$|\alpha \rangle = \sum_{i} |i \rangle \langle i | \alpha \rangle = \sum_i c_i |i \rangle$

analogamente per un bra qualsiasi:

$\langle \alpha | = \sum_{i} \langle \alpha | i \rangle \langle i | = \sum_i c_{i}^{*} \langle i|$

dove (*) rappresenta la coniugazione complessa. Formalmente i ket e i bra si possono rappresentare mediante matrici unicolonnari del tipo:

$|\varphi \rangle = \begin{pmatrix} \langle 1|\varphi \rangle \\ \langle 2 | \varphi \rangle \\ \vdots \end{pmatrix}$

$\langle \psi| = \begin{pmatrix} \langle 1|\psi \rangle^* & \langle 2 | \psi \rangle^* & \cdots \end{pmatrix}$

Vediamo che esiste una corrispondenza duale tra bra e ket:

$c_{\alpha}|\alpha \rangle + c_{\beta} |\beta \rangle \, \, \leftrightarrow \, \, c_{\alpha}^{*} \langle \alpha| + c_{\beta}^{*} \langle \beta |$

Queste relazioni esprimono il principio di sovrapposizione degli stati quantistici: questo concetto è puramente quantistico e teorico e di difficile interpretazione: i coefficienti $c_i = \langle i|\alpha \rangle$ rappresentano l'ampiezza di probabilità in modo che il suo modulo quadro rappresenti la probabilità dello stato $α$ . In termini di ampiezza di probabilità il fattore $\langle i| \alpha \rangle$ ha un significato particolare, ma in tal caso la base scelta deve essere ortonormale poiché deve valere l'assioma della probabilità che essa deve essere normalizzata all'unità. Analogamente al caso geometrico si può definire il prodotto scalare tra un bra $\langle \psi |$ e un ket $|\varphi \rangle$ definito rispetto ad una base ortonormale assegnata:

$\left\langle \psi | \varphi \right\rangle = \sum_i \left\langle \psi | i \right\rangle \left\langle i | \varphi \right\rangle$

Formalmente esso si può anche esprimere come prodotto tra vettore riga e vettore colonna:

$\langle \psi|\varphi \rangle = \begin{pmatrix} \langle 1|\psi \rangle^* & \langle 2 | \psi \rangle^* & \cdots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle 1|\varphi \rangle \\ \langle 2 | \varphi \rangle \\ \vdots \end{pmatrix}$

o in alternativa, usando i coefficienti:

$\left\langle \psi | \varphi \right\rangle = \sum_i \psi_i^* \varphi_i$

Dirac propose di scindere il termine a sinistra dell'espressione in due parti, la prima $\left\langle \psi \right|$ detta bra e e la seconda $\left| \varphi \right\rangle$ detta ket. Il prodotto scalare quindi rappresenta in qualche modo l'ampiezza di probabilità se la base rappresentativa è ortonormale: in caso contrario il modulo quadro dell'ampiezza di probabilità non ha un significato immediato di probabilità, ma è comunque proporzionale alla probabilità.

[modifica] Operatori

Definiamo l'operatore A un'applicazione lineare che rappresenta matematicamente un qualsiasi oggetto fisico che interagisca con gli stati che stiamo considerando, comprese le apparecchiature sperimentali, modificando lo stato $|\psi \rangle$ e trasformandolo nello stato $A |\psi\rangle$ . L'operatore A è completamente definito se sono dati i suoi elementi rispetto ad una base qualsiasi. Scegliamo tale base come $\{|i\rangle \}$ allora l'operatore è assegnato quando se ne conoscono i numeri:

$\langle i|A|j\rangle$

infatti un operatore che agisce sullo stato $\varphi$ e lo trasforma in un altro stato $ψ$ è descrivibile da:

$\langle \psi |A| \varphi \rangle = \sum_{i,j} \langle \psi |i \rangle \langle i |A|j \rangle \langle j |\varphi \rangle$

Vediamo innanzitutto come agisce un operatore su un ket di stato anch'esso rappresentato nella stessa base:

$A|\varphi \rangle = \sum_{i,j} |i \rangle \langle i|A|j\rangle \langle j|\varphi \rangle$

allo stesso modo l'operatore agisce su un bra:

$\langle \psi |A = \sum_{i,j} \langle \psi |i \rangle \langle i|A|j\rangle \langle j|$

Per cui formalmente un operatore è ben rappresentato da una matrice $n \times n$ :

$A = \begin{pmatrix} \langle 1|A|1 \rangle & \langle 1 | A | 2 \rangle & \cdots \\ \langle 2|A|1 \rangle & \langle 2 |A|2 \rangle & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}$

Possiamo quindi calcolare l'ampiezza di probabilità di passare dallo stato $A |\psi \rangle$ allo stato $|\varphi \rangle$ scriveremo $\left\langle \psi | A |\varphi \right\rangle$ , detto anche elemento di matrice di A fra ψ e φ. Scomponendo ψ e φ in stati base, possiamo calcolare gli elementi di matrice $\left\langle i | A | j \right\rangle$ possiamo calcolare le ampiezze risultanti su i dal passaggio in A di qualunque stato espresso in j.

Un caso particolare di operatore è l'operatore identità, la cui azione è quella di lasciare invariato il vettore di stato:

$\langle \psi |I|\varphi \rangle = \langle \psi |\varphi \rangle$

usando l'operatore identità vediamo che possiamo esprimere i vettori di base:

$\sum_i |i \rangle \langle i | = I$

detta relazione di completezza: essa esprime il fatto che la base di vettori deve essere completa cioè ogni vettore deve essere rappresentabile mediante un numero finito o infinito di vettori di base.

[modifica] Prodotto di operatori

Supponiamo di applicare successivamente due operatori su uno stato iniziale $|\varphi \rangle$ e finale $\langle \psi |$ al solito definiti in una base comune ortonormale:

$C = B \cdot A$

allora la successiva applicazione dei due operatori:

$\langle \psi |C|\varphi \rangle = \sum_i \langle \psi |B|i \rangle \langle i|A|\varphi \rangle$

oppure:

$\langle j |C | k \rangle = \sum_i \langle j |B|i \rangle \langle i |A |k \rangle$

Per approfondire, vedi la voce Commutatore.

Da notare che in generale il prodotto di due operatori non è commutativo:

$A \cdot B \neq B \cdot A$

e questo fatto impone una serie di notevoli conseguenze in meccanica quantistica.

[modifica] Prodotto esterno

Vediamo che in generale è possibile un altro tipo di prodotto, quello rappresentato da:

$|\alpha \rangle \langle \beta |$

esso è chiamato prodotto esterno per distinguerlo dal prodotto scalare che più propriamente è detto prodotto interno. Il prodotto esterno è un operatore i cui elementio di matrice sono rappresentati da:

$|\alpha \rangle \langle \beta | = \begin{pmatrix} \langle 1|\alpha \rangle \langle 1 |\beta \rangle^* & \langle 1 |\alpha \rangle \langle 2|\beta \rangle^* & \cdots \\ \langle 2|\alpha \rangle \langle 1 |\beta\rangle^* & \langle 2 |\alpha \rangle \langle 2 |\beta \rangle^* & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}$

[modifica] Esempi

Prendiamo ad esempio una particella con spin 1/2, l'elettrone. Abbiamo solo 2 possibili stati base: spin su ( $|+\rangle$ ) e spin giù ( $|-\rangle$ ). L'operatore A sarebbe dunque

$\left\langle i | A | j \right\rangle = \left( \begin{matrix} {\langle+|A|+\rangle},{\langle+|A|-\rangle} \\ {\langle-|A|+\rangle},{\langle-|A|-\rangle} \\ \end{matrix} \right)$

Un operatore particolare è quello di evoluzione temporale. Se consideriamo l'elettrone al tempo t₁ in un determinato stato (+ o -), esso avrà una certa probabilità di trovarsi, in un tempo t₂ successivo al primo, in un certo stato (+ o -). Ciascuna delle quattro possibilità verrà rappresentata dalla seguente notazione matriciale:

$\left\langle i | U(t_1,t_2) | j \right\rangle = \left( \begin{matrix} {\langle+|U(t_1,t_2)|+\rangle},{\langle+|U(t_1,t_2)|-\rangle} \\ {\langle-|U(t_1,t_2)|+\rangle},{\langle-|U(t_1,t_2)|-\rangle} \\ \end{matrix} \right)$

Il limite per t₁ → -∞ e t₂ → +∞ è un caso particolare: in questo caso l'operatore di evoluzione temporale viene detto matrice S (da scattering) ed introduce alla teoria dei propagatori.

[modifica] Voci correlate

[modifica] Simboli HTML

Nel linguaggio HTML, i simboli per il bra e il ket sono codificati da 〈 e 〉, e corrispondono ai codici #9001 e #9002 〈 e 〉

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Indice

[modifica] Spazio di Hilbert

[modifica] Operatori

[modifica] Prodotto di operatori

[modifica] Prodotto esterno

[modifica] Esempi

[modifica] Voci correlate

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