Commutatore
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Il commutatore è un operatore usato specialmente nella meccanica quantistica che quantifica quanto due operatori non commutano. Due operatori commutano quando è indifferente l'ordine in cui vengono applicati.
Dati gli operatori: e
è definito nel seguete modo:
Si dice che gli operatori e commutano quando:
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[modifica] Proprietà
Il commutatore gode delle seguenti proprietà:
Relazioni dell'algebra di Lie:
- [A,B] = − [B,A]
- [A,A] = 0
- [A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]] = 0
Altre proprietà:
- [A,BC] = [A,B]C + B[A,C]
- [AB,C] = A[B,C] + [A,C]B
- [A,BC] = [AB,C] + [CA,B]
- [ABC,D] = AB[C,D] + A[B,D]C + [A,D]BC
Se A è un elemento fissato dell'anello R, la prima relazione addizionale può essere interpretata come una regola di Leibniz per la mappa data da . In altre parole: la mappa DA definisce una derivazione dell'anello R.
[modifica] Esempio: posizione-momento
Siano gli operatori:
Di posizione:
e di momento:
Applicando l'operatore di commutazione su e si ottiene:
Se ora si applica l'operatore ottenuto nella precedente equazione sulla funzione f(x) si ottiene il seguente risultato:
Quindi per ogni f:
Da questo si conclude che:
La generalizzazione e a tre dimensioni con e è ovvia:
dove δij è la delta di Kronecker
Altre relazioni di commutazione utili in meccanica quantistica sono le seguenti, dove n è un intero maggiore o uguale a zero e f(p) e g(x) due funzioni sviluppabili in serie di Taylor:
Dimostriamo prima la relazione
La dimostrazione procede per induzione: la relazione è vera per n = 1, supponiamo che sia vera per qualunque n e dimostriamo allora che vale anche per n + 1
La dimostrazione di
è analoga alla precedente.
Dimostriamo ora la relazione
Utilizzando lo sviluppo di Taylor possiamo scrivere
da cui otteniamo
La dimostrazione di
è analoga alla precedente.
[modifica] Anticommutatore
L'anticommutatore è un'operatore usato specialmente in meccanica quantistica che prende in ingresso due operatori. L'anticommutatore tra A e B è definito come:
- {A,B} = AB + BA
[modifica] Voci correlate
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